Взаємне розташування прямих у просторі. Презентація на тему: Взаємне розташування прямих та площин у просторі

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Взаємне розташування прямих та площин в просторі

Дві прямі

Дві площини

Пряма та площина

Взаємне розташування прямих у просторі

Не мають загальної точки

не мають спільну точку

Мають спільну точку

лежать в одній площині

лежать в одній площині

не лежать в одній площині

схрещуються

паралельні

перетинаються

в

в

а

А

а

а

в

Даний куб ABCDA 1B1C1D1

B 1

C 1

Вкажіть:

• Ребра, які лежать на прямих, паралельних ребру АА 1
• Ребра, які лежать на прямих, що перетинають ребро АА1
• Прямі, які схрещуються з прямою АА1

А 1

D 1

B

C

А

D

Дана піраміда ABCD Вкажіть:

1.площини, у яких лежать прямі РЕ, МК, DB, АВ, ЕС;

2. точки перетину прямий DK з площиною ABC, прямий РЄ з площиною ADB;

3. точки, що у площинах ADB і DBC;

4.прямі, якими перетинаються площини ABC і DCB, ABD і CDA, PDC і ABC.

Взаємне розташування прямої та площини у просторі

мають безліч спільних точок

Мають спільну точку

Не мають спільних точок

Пряма лежить у площині

Пряма перетинає площину

Пряма та площина паралельні

а

а

А

а







а  

а ‖ 

S

Дана піраміда ABCS

Вкажіть:

1.Прямі, які лежать у площині BSC

2. Прямі, що перетинають площину АВС

А

З

Перевіримо:

Про

До

1. SB,SC,BC,SK

2. SA, SB, SC, SK, SO

У

Взаємне розташування площин у просторі

Загальні точки є

Загальних точок немає

площини паралельні

площини перетинаються





з





 ‖ 

Розв'язання задач на тему «Паралельність прямих та площин. Взаємне розташування прямих у просторі»

Цілі уроку:

а) освітні:

повторити теоретичний матеріал на тему «Паралельність прямих та площин. Взаємне розташування прямих у просторі»;

Закріпити вміння:вирішувати завдання на підтвердження, спираючись на точні аргументи (знання теоретичного матеріалу);

під час вирішення стереометричних завдань застосовувати знання, отримані щодо планиметрии;

при виконанні малюнка до завдання враховувати наочність та правила зображення просторових фігур

б) розвиваючі: розвиток навичок

самостійної роботи,

просторового мислення, логічного мислення;

в) виховна: виховувати в учнів

вміння слухати одне одного, ставити запитання, аргументовано оцінювати відповіді;

інтерес до предмета

Тип уроку: урок удосконалення знань, умінь та навичок

Обладнання: комп'ютер, проектор, презентація

Хід уроку.

Організаційний момент. Перевірка готовності до уроку.

Мотивація уроку.

Слайд 3. Геометрія сповнена пригод, тому що за кожним завданням ховається пригода думки. Вирішити завдання – це означає пережити пригоду.

(В. Свавілля). Сьогодні на уроці нам доведеться пережити багато пригод.

Актуалізація опорних знань.

Слайд 4. При вивченні стереометрії дуже важливо вміти дивитися та бачити, помічати та розрізняти, зображати та припускати. При вирішенні стереометричних завдань будемо вчитися бачити «неочевидне». Починаємо з повторення.

Назвіть основні фігури стереометрії.

Сформулюйте способи завдання площини.

Слайд 5.

- Сформулюйте визначення прямої, паралельної площині.

- Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.

Сформулюйте важливий наслідок про дві площини, що перетинаються, одна з яких містить пряму, паралельну іншій площині.

Перерахуйте випадки взаємного розташування прямих у просторі.

Сформулюйте визначення паралельних і прямих, що схрещуються.

Сформулюйте ознаку прямих, що схрещуються.

Сформулюйте визначення кута між двома прямими, що перетинаються.

Який кут називається кутом між прямими, що схрещуються?

Слайд 7,8. Усна робота. Задача1.

1) Дано: точки А, В, С, Дне належать до однієї площини.

Довести: будь-які три крапки є вершинами трикутника.

Спочатку один учень розповідає розв'язання задачі, потім показується, як можна записати рішення письмово. Т.к. метод протилежного часто зустрічається при вирішенні перших стереометричних завдань, то необхідно ще раз продемонструвати алгоритм застосування даного методу.

Слайд 9. Завдання 2.

Т.к. на перших уроках стереометрії учні утрудняються із записом розв'язання задач, то після усного розв'язання задачі показується, як можна, використовуючи геометричні знаки та математичні позначення, записати розв'язання даної задачі.

Слайд 10. Завдання 3. Знайти кут між прямими, що перетинаються.

Який кут називається кутом між двома прямими, що перетинаються?

Розв'язання задач.

Слайд 11. Вирішіть у зошитах самостійнозавдання 1 .

Можна викликати учня до дошки вирішувати завдання закритої від учнів частини дошки.

Слайд 12. Потім учні обговорюють та перевіряють рішення.

Слайд 13. Завдання 2. За цією умовою виконати малюнок, скласти словесну модель завдання та визначити величину, яку можна знайти за цією умовою.

До дошці викликається учень і вирішує завдання з найменшою допомогою з боку вчителя. Після того, як завдання біля дошки вирішено, вчитель показує, як можна було записати рішення. Обговорення.

Слайд 14. Завдання №3. Пряма МК паралельна стороні ЦД ромба АВСД і лежить у площині ромба. а) З'ясуйте взаємне розташування прямих МК і ПС б) Знайдіть кут між прямими МК і ПС, якщо

Спочатку малюнок до завдання та рішення обговорюється із класом. Потім учні записують рішення. Готовий малюнок до завдання можна залишити за потребою. Після того, як завдання вирішено, учитель показує, як можна було записати рішення.

Підбиття підсумків.

Учні називають які теоретичні відомості були застосовані під час вирішення завдань.

Рефлексія

7) Домашнє завдання.

Повторити п.1-9.

Вирішити №45(а), 46(а),38(а).

Повторити №11,23,26

Взаємне розташування прямих та площин у просторі

Слайд 2

Всі побудови на площині виробляються креслярськими інструментами і побудови виходять точними, а виконувати побудови в просторі можна схематично. Тому терміни «провести площину (пряму)» використовують у сенсі «довести існування площини (прямий)», що задовольняє поставленим умовам.

Слайд 3: Можливі розташування прямих у просторі:

Слайд 4

4 b a b Три випадки взаємного розташування прямих у просторі n m l p n m l p II a

Слайд 5

прямі у просторі Мають спільну точку Не мають спільних точок перетинаються паралельні схрещуються

Слайд 6

Визначення: дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільної точки або збігаються. Визначення: Дві прямі називаються такими, що схрещуються, якщо вони не перетинаються і не паралельні. Визначення: Дві прямі називаються такими, що перетинаються, якщо вони лежать в одній площині і мають одну загальну точку.

Слайд 7: Завдання: Через дану точку провести пряму, паралельну даній прямий а

Дано: До  a Довести:  ! b: До  b, b  a Доказ: Побудова 1. Проведемо через пряму a і т. площину α. (за Сл.1) 2. Проведемо через т. К в площині α пряму b, b  a. .Через прямі a і b 1 можна провести площину α 1 (Сл.3) 2. Пряма a, т.К ? 1 ;  α 1 = α (по точці та прямій у просторі) (СЛ.1). 3.  b = b 1 (А паралельних прямих). Теорему доведено. До a b

Слайд 8

ТЕОРЕМА 1. Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, дані прямі схрещуються. Зверніть увагу: через прямі, що схрещуються, не можна провести площину. Дано: Довести: a А

Слайд 9

ІІ. Взаємне розташування прямої та площини. Пряма лежить у площині. Пряма перетинає площину. Пряма не перетинає площину. Безліч спільних точок. Єдина загальна точка. Нема спільних точок. g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g

10

Слайд 10

a з Взаємне розташування прямої та площини у просторі.  b До

11

Слайд 11

Визначення. Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають загальної точки або пряма лежить у площині. Розглянемо наступну ознаку паралельності прямої та площини

12

Слайд 12

ТЕОРЕМА 2. Якщо пряма паралельна до якої-небудь прямої, що лежить у площині, то дані пряма та площина паралельні. Дано: Довести:

13

Слайд 13

ТЕОРЕМА 3 (зворотна) Якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій. Дано: ? ? ? Отже, а  в α Теорема доведена.

14

Слайд 14

ТЕОРЕМА 4. Якщо через кожну з двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їхня лінія перетину паралельна кожній із даних прямих. Дано: Доказ: Довести: а  b ? прямий та площини а || β, тоді з  а (Т.3) Аналогічно доводиться з|| b

15

Слайд 15

Доказ: Розглянемо випадок. в, з β; а, з  α 1. Візьмемо т.М, М  а. 2. Т 4: ? ? 4. Але оскільки (MN)  b, то й а  b  у  з Теорема доведена. Теорема 5. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Дано: а  с, b  c Довести: а  b α М N

16

Слайд 16

а М Пряма лежить у площині Пряма перетинає площину Скільки загальних точок мають пряма та площина?

17

Слайд 17

Як в просторі можна однозначно задати площину? 1. По трьох точках 2. По прямій точці, що не належить їй. 3. По двох прямих, що перетинаються. 4. За двома паралельними прямими.

Взаємне розташування прямих у просторі Можливі три випадки взаємного розташування двох прямих у просторі: - прямі перетинаються, тобто. мають лише одну загальну точку - прямі паралельні, тобто. лежать у одній площині і перетинаються - прямі схрещуються, тобто. не лежать в одній площині

А 2 Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. Властивість, виражене в аксіомі А 2, використовується для перевірки рівності креслярської лінійки. З цією метою лінійку прикладають краєм до плоскої поверхні столу. Якщо край лінійки рівний (прямолінійний), він усіма своїми точками прилягає до поверхні столу. Якщо край нерівний, то в якихось місцях між ними і поверхнею столу утворюється просвіт.

А3 Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин. У такому разі кажуть, що площини перетинаються прямою. Наочною ілюстрацією аксіоми А3 є перетин двох суміжних стін, стіни та стелі класної кімнати.

Паралельність прямої та площини Якщо дві точки прямої лежать у даній площині, то згідно з А2 вся пряма лежить у цій площині. Звідси випливає, що можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини у просторі: а) пряма лежить площині; б) пряма та площина мають одну загальну точку, тобто перетинаються; в) пряма та площина не мають жодної спільної точки

Паралельність площин Отже, ми знаємо, що якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються по прямій (аксіома А3). Звідси випливає, що дві площини або перетинаються прямою, або не перетинаються, тобто не мають жодної загальної точки. Визначення Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Уявлення про паралельні площини дають підлогу та стелю кімнати, дві протилежні стіни, поверхню столу та площину підлоги.

Теорема Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні. Доказ Розглянемо дві площини та β. У площині лежать прямі a і b, що перетинаються в точці М, а в площині β- прямі a 1 і b 1, причому а а 1 і b 1. Доведемо, що β. Насамперед зазначимо, що за ознакою паралельності прямої та площини α і β. Припустимо, що площини та β не паралельні. Тоді вони перетинаються деякою прямою с. Ми отримали, що площина проходить через пряму а, паралельну площині, і перетинає площину по прямій. Звідси випливає (за властивістю 10) що прямі а і с паралельні. Але площина проходить через пряму b, паралельну площині β. Тому b с. Таким чином, через точку М проходять дві прямі а і b, паралельні до прямої с. Але це неможливо, тому що по теоремі про паралельні прямі через точку М проходить тільки одна пряма, паралельна прямій с. Отже, наше припущення є невірним і, отже, β. Теорема доведена.