Crearea de rapoarte este una dintre funcțiile principale ale oricărui sistem de contabilitate. Ce tipuri...
Slide 1
Slide 2
Obiectivele lecției: Introduceți definiția liniilor oblice. Introduceți formulări și demonstrați semnul și proprietatea liniilor oblice.
Slide 3
Localizarea dreptelor în spațiu: α α a b a b a ∩ b a || b Ei zac în același plan!
Slide 4
??? Dat un cub ABCDA1B1C1D1 Sunt dreptele AA1 și DD1 paralele? AA1 și CC1? De ce? AA1 || DD1 ca laturi opuse pătrat, se află în același plan și nu se intersectează. AA1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 prin teorema a trei drepte paralele. 2. AA1 și DC sunt paralele? Se intersectează? Două linii se numesc înclinate dacă nu se află în același plan.
Slide 5
Semn de trecere a liniilor. Dacă una dintre cele două linii se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie intersectează acest plan într-un punct care nu se află pe prima linie, atunci aceste linii se intersectează. a b
Slide 6
Semn de trecere a liniilor. Dat fiind: AB α, CD ∩ α = C, C AB. a b Demonstrație: Să presupunem că CD și AB se află în același plan. Fie acesta să fie planul β. Demonstrați că AB Cruce CD A B C D α coincide cu β Planurile coincid, ceea ce nu poate fi cazul, deoarece linia CD intersectează α. Planul căruia îi aparțin AB și CD nu există și de aceea, prin definiția dreptelor de intersectare, AB intersectează CD. etc.
Slide 7
Consolidarea teoremei studiate: Determinați poziția relativă a dreptelor AB1 și DC. 2. Indicați poziția relativă a dreptei DC și a planului AA1B1B 3. Este dreapta AB1 paralelă cu planul DD1С1С?
Slide 8
Teorema: Prin fiecare dintre cele două linii oblice trece un plan paralel cu celălalt plan și numai unul. Dat: AB este încrucișat cu CD. Construiți α: AB α, CD || α. A B C D Prin punctul A trasăm o dreaptă AE, AE || CD. E 2. Dreptele AB și AE se intersectează și formează un plan α. AB α, CD || α. α este singurul plan. Demonstrați că α este unic. 3. Dovada: α este singurul corolar al axiomelor. Orice alt plan căruia îi aparține AB intersectează AE și, prin urmare, dreapta CD.
Slide 9
Sarcină. Construiți un plan α care trece prin punctul K și paralel cu liniile de încrucișare a și b. Construcție: Prin punctul K trageți o dreaptă a1 || O. 2. Prin punctul K trageți o dreaptă b1 || b. a b K a1 b1 3. Desenați un plan α prin liniile de intersectare. α este planul dorit.
Poziția relativă a liniilor si avioane V spaţiu
Două drepte
Două avioane
Drept și plan
Poziția relativă a liniilor în spațiu
Nu ai un punct comun
nu au un punct comun
Aveți un punct comun
se află în același plan
se află în același plan
nu stați în același plan
se încrucișează
paralel
se intersectează
V
V
O
O
O
O
V
Dat un cub ABCDA 1B1C1D1
B 1
C 1
Vă rugăm să indicați:
- Muchii care se află pe linii paralele cu muchia AA 1
- Muchii care se află pe linii drepte care intersectează muchia AA1
- Linii drepte care se intersectează cu linia dreaptă AA1
O 1
D 1
B
C
O
D
Având în vedere o piramidă ABCD Specificați:
1.planuri în care se află liniile drepte PE, MK, DB, AB, EC;
2.punctele de intersecție a dreptei DK cu planul ABC, dreapta CE cu planul ADB;
3. puncte situate în avioanele ADB și DBC;
4. linii drepte de-a lungul cărora se intersectează planele ABC și DCB, ABD și CDA, PDC și ABC.
Poziția relativă a unei drepte și a unui plan în spațiu
au multe puncte comune
Aveți un punct comun
Nu au puncte comune
Linia dreaptă se află în plan
O linie dreaptă intersectează un plan
Linia și planul sunt paralele
O
O
O
O
O
O ‖
S
Având în vedere o piramidă ABCS
Vă rugăm să indicați:
1. Liniile care se află în planul BSC
2. Drepte care intersectează planul ABC
O
CU
Să verificăm:
DESPRE
LA
1. SB,SC,BC,SK
2. SA, SB, SC, SK, SO
ÎN
Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu
Există puncte comune
Nu există puncte comune
planurile sunt paralele
avioanele se intersectează
Cu
‖
Note de lecție despre geometrie, nota 10. (Atanasyan L.S.)Rezolvarea problemelor pe tema "Paralelismul dreptelor și planelor. Poziția relativă a liniilor în spațiu"
Obiectivele lecției:
a) educațional:
repetați materialul teoretic pe tema „Paralelismul dreptelor și planurilor. Poziția relativă a liniilor în spațiu”;
Consolidarea aptitudinilor:rezolva probleme de demonstrare pe baza unor argumente precise (cunoasterea materialului teoretic);
la rezolvarea problemelor stereometrice, aplicați cunoștințele dobândite în urma studierii planimetriei;
Când finalizați un desen pentru o sarcină, luați în considerare claritatea și regulile pentru reprezentarea figurilor spațiale
b) dezvoltarea: dezvoltarea deprinderilor
munca independenta,
gândire spațială, gândire logică;
c) educațional: educa elevii
capacitatea de a se asculta, de a pune întrebări și de a evalua răspunsurile în mod rezonabil;
interes pentru subiect
Tipul de lecție: lecție privind îmbunătățirea cunoștințelor, abilităților și abilităților
Echipament: calculator, proiector, prezentare
Progresul lecției.
Moment organizatoric. Verificarea gradului de pregătire pentru lecție.
Motivația lecției.
Slide 3. Geometria este plină de aventură pentru că în spatele fiecărei probleme se află o aventură a gândirii. A rezolva o problemă înseamnă a trăi o aventură.
(V. Proizvolov). Astăzi la clasă vom trăi multe aventuri.
Actualizarea cunoștințelor de bază.
Slide 4. Când studiezi stereometria, este foarte important să poți privi și vedea, observa și distinge, înfățișa și ghici. Când rezolvăm probleme stereometrice, vom învăța să vedem „non-evident”. Începem cu repetarea.
Numiți figurile de bază ale stereometriei.
Formulați metode pentru definirea unui plan.
Slide 5.
- Formulați definiția unei drepte paralele cu un plan.
- Formulați un semn de paralelism între o dreaptă și un plan.
Precizați un corolar important despre două plane care se intersectează, dintre care unul conține o dreaptă paralelă cu celălalt plan.
Enumerați cazurile de poziții relative ale liniilor în spațiu.
Formulați definiția dreptelor paralele și oblice.
Formulați semnul liniilor care se intersectează.
Formulați definiția unghiului dintre două drepte care se intersectează.
Ce unghi se numește unghiul dintre liniile care se intersectează?
Slide 7.8. Lucru oral. Sarcina 1.
1) Având în vedere: punctele A, B, C, D nu aparțin aceluiași plan.
Demonstrați: oricare trei puncte sunt vârfuri ale unui triunghi.
Mai întâi, un elev spune soluția problemei, apoi arată cum poate fi scrisă soluția. Deoarece Deoarece metoda prin contradicție este adesea întâlnită la rezolvarea primelor probleme stereometrice, este necesar să se demonstreze încă o dată algoritmul de aplicare a acestei metode.
Slide 9. Sarcina 2.
Deoarece În primele lecții de stereometrie, elevilor le este greu să noteze soluțiile la probleme, apoi după rezolvarea orală a problemei, se arată cum pot scrie soluția acestei probleme folosind semne geometrice și notații matematice.
Slide 10. Sarcina 3. Găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează.
Care este unghiul dintre două drepte care se intersectează?
Rezolvarea problemelor.
Slide 11. Rezolvați singur în caietesarcina 1 .
Puteți chema un elev la tablă pentru a rezolva o problemă pe o parte a tablei care este închisă pentru studenți.
Slide 12. Elevii discută apoi și verifică soluția.
Slide 13. Sarcina 2. Pe baza acestei condiții, faceți un desen, creați un model verbal al problemei și determinați valoarea care poate fi găsită pe baza acestei condiții.
Un elev este chemat la bord și rezolvă problema cu cel mai mic ajutor din partea profesorului. După ce problema este rezolvată pe tablă, profesorul arată cum ar putea fi scrisă soluția. Discuţie.
Slide 14. Sarcina nr. 3. Linia dreaptă MK este paralelă cu latura CD a rombului ABCD și nu se află în planul rombului. a) Aflați poziția relativă a dreptelor MK și BC b) Aflați unghiul dintre dreptele MK și BC dacă
Mai întâi, desenul problemei și soluția sunt discutate cu clasa. Elevii își notează apoi soluția. Desenul final pentru sarcină poate fi lăsat după cum este necesar. După ce problema este rezolvată, profesorul arată cum ar putea fi scrisă soluția.
Rezumând.
Elevii numesc ce informații teoretice au fost folosite pentru a rezolva probleme.
Reflecţie
7) Tema pentru acasă.
Repetați pașii 1 – 9.
Rezolvați nr. 45 (a), 46 (a), 38 (a).
Repetați nr. 11,23,26
Poziția relativă a liniilor drepte și a planelor în spațiu
Slide 2
Toate construcțiile pe un plan sunt realizate cu instrumente de desen și construcțiile sunt precise, dar construcțiile în spațiu se pot face schematic. Prin urmare, termenii „desenați un plan (linie)” sunt folosiți în sensul „demonstrați existența unui plan (linie)” care îndeplinește condițiile enunțate.
Slide 3: Posibile locații ale liniilor în spațiu:
Slide 4
4 b a b Trei cazuri de poziții relative ale dreptelor în spațiu n m l p n m l p II a
Slide 5
drepte în spațiu Au un punct comun Nu au puncte comune intersectează intersectează paralel
Slide 6
Definiție: Două drepte se numesc paralele dacă se află în același plan și nu au un punct comun sau coincid. Definiție: Se spune că două drepte se intersectează dacă nu se intersectează sau sunt paralele. Definiție: Două drepte se numesc intersectări dacă se află în același plan și au un punct comun.
Slide 7: Sarcină: printr-un punct dat K trageți o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată a
Dat: K a Demonstrați: ! b: K b, b a Demonstrație: Construcție 1. Să desenăm planul α prin dreapta a etc. K. (după Sl.1) 2. Să trasăm o dreaptă b, b a prin punctul K în planul α (planimetrie A) Unicitatea (prin contradicție) 1. Fie b 1: K b 1,. b 1 a .Prin drepte a şi b 1 se poate trasa un plan α 1 (după Sl. 3) 2. Linia a, deoarece α 1 ; α 1 = α (prin un punct și o dreaptă în spațiu) (SL.1). 3. b = b 1 (A drepte paralele). Teorema a fost demonstrată. La un b
Slide 8
TEOREMA 1. Dacă una dintre două drepte se află într-un plan, iar cealaltă intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei drepte, atunci aceste drepte se intersectează. Vă rugăm să rețineți: un plan nu poate fi desenat prin linii care se intersectează. Dat: Demonstrați: un A
Slide 9
II. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan. Linia dreaptă se află în plan. O linie dreaptă intersectează un plan. Linia dreaptă nu intersectează planul. O mulțime de puncte comune. Singurul punct comun. Nu există puncte comune. g a g a M g a a Ì g a Ç g = M a Ë g
10
Slide 10
a c Poziția relativă a unei drepte și a unui plan în spațiu. b K
11
Slide 11
Definiţie. O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au un punct comun sau linia se află în plan. Luați în considerare următorul semn de paralelism între o dreaptă și un plan
12
Slide 12
TEOREMA 2. Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă situată într-un plan, atunci linia dată și planul sunt paralele. Dat: Demonstrați:
13
Slide 13
TEOREMA 3 (invers) Dacă un plan trece printr-o dreaptă paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu această dreaptă. Dat: β ∩ α = Demonstrați: Demonstrați: 1) a, b β a nu poate ∩ b, deoarece altfel a ∩ α, ceea ce contrazice condiția. Prin urmare a în α Se demonstrează teorema.
14
Slide 14
TEOREMA 4. Dacă se trasează un plan prin fiecare dintre cele două drepte paralele, iar aceste plane se intersectează, atunci linia lor de intersecție este paralelă cu fiecare dintre aceste drepte. Dat: Demonstrație: Demonstrați: a b α β = c c a, c b α Prin a tragem α, prin b – β și α ∩ β = c După criteriul || linie și plan a || β, apoi cu a (T.3) În mod similar, c|| b
15
Slide 15
Dovada: Luați în considerare un caz. în, cu β; a, c α 1. Luați t.M, M a Prin t.M și c desenăm planul α, b și M desenăm planul β; 2. T 4: α β = MN (linia de intersecție a planelor b și c) 3. Prin T.M este imposibil să se tragă două drepte diferite с, deci MN și a coincid. 4. Dar întrucât (MN) b, atunci a b în c Teorema este demonstrată. Teorema 5. Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele. Dat: a c, b c Demonstrați: a b α M N
16
Slide 16
și M Linia dreaptă se află în plan Linia dreaptă intersectează planul Câte puncte au în comun dreapta și planul?
17
Slide 17
Metode de definire a planurilor Figura Cum poate fi definit un plan unic în spațiu? 1. Prin trei puncte 2. După o dreaptă și un punct care nu îi aparține. 3. De-a lungul a două linii care se intersectează. 4. De-a lungul a două linii paralele.
Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu Există trei cazuri posibile de aranjare reciprocă a două linii în spațiu: - liniile se intersectează, i.e. au un singur punct comun - liniile sunt paralele, adică se află în același plan și nu se intersectează - liniile drepte se intersectează, adică nu stați în același plan
A 2 Dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan. Proprietatea exprimată în Axioma A 2 este utilizată pentru a verifica „planeitatea” riglei de desen. În acest scop, marginea riglei este aplicată pe suprafața plană a mesei. Dacă marginea riglei este netedă (dreaptă), atunci toate punctele sale sunt adiacente suprafeței mesei. Dacă marginea este neuniformă, atunci în unele locuri se va forma un spațiu între ele și suprafața mesei.
A3 Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor plane. În acest caz, se spune că planurile se intersectează într-o linie dreaptă. O ilustrare clară a axiomei A3 este intersecția a doi pereți adiacenți, peretele și tavanul unei săli de clasă.
Paralelismul unei drepte și al unui plan Dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan dat, atunci conform A2 întreaga dreaptă se află în acest plan. Rezultă că există trei cazuri posibile de aranjare reciprocă a unei drepte și a unui plan în spațiu: a) o dreaptă se află pe un plan b) o dreaptă și un plan au un punct comun, adică se intersectează c) a linia dreaptă și un plan nu au un singur punct comun
Paralelismul planurilor Deci, știm că, dacă două plane au un punct comun, atunci ele se intersectează în linie dreaptă (axioma A3). Rezultă că două plane fie se intersectează în linie dreaptă, fie nu se intersectează, adică nu au un singur punct comun. Definiție Se spune că două plane sunt paralele dacă nu se intersectează. O idee de planuri paralele este dată de podeaua și tavanul camerei, doi pereți opuși, suprafața mesei și planul podelei.
Teoremă Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele. Dovada Se consideră două plane și β. În plan se află drepte a și b care se intersectează în punctul M, iar în planul β sunt drepte a 1 și b 1 și a a 1 și b 1. Să demonstrăm că β. În primul rând, observăm că pe baza paralelismului unei drepte și a unui plan, a β și b β. Să presupunem că planele și β nu sunt paralele. Apoi se intersectează de-a lungul unei linii drepte c. Am constatat că planul trece prin linia a, paralelă cu planul β, și intersectează planul β într-o linie dreaptă. Rezultă (prin proprietatea 1 0) că dreptele a și c sunt paralele. Dar planul trece și prin dreapta b paralelă cu planul β. Prin urmare b c. Astfel, două drepte a și b trec prin punctul M, paralel cu dreapta c. Dar acest lucru este imposibil, deoarece conform teoremei pe drepte paralele, doar o singură dreaptă trece prin punctul M, paralelă cu dreapta c. Aceasta înseamnă că presupunerea noastră este incorectă și, prin urmare, β. Teorema este dovedita..
