La creazione di report è una delle funzioni principali di qualsiasi sistema contabile. Che tipi...
Diapositiva 1
Diapositiva 2
Obiettivi della lezione: Introdurre la definizione di linee oblique. Introdurre formulazioni e dimostrare il segno e la proprietà delle linee oblique.
Diapositiva 3
Posizione delle linee nello spazio: α α a b a b a ∩ b a || b Si trovano sullo stesso piano!
Diapositiva 4
??? Dato un cubo ABCDA1B1C1D1 le rette AA1 e DD1 sono parallele? AA1 e CC1? Perché? AA1 || Mi piace DD1 lati opposti quadrati, giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. AA1 || DD1; GG1 || CC1→AA1 || CC1 dal teorema delle tre rette parallele. 2. AA1 e CC sono paralleli? Si intersecano? Due rette si dicono oblique se non giacciono sullo stesso piano.
Diapositiva 5
Segno di attraversamento delle linee. Se una delle due rette giace su un certo piano e l'altra retta interseca questo piano in un punto che non giace sulla prima retta, queste rette si intersecano. un b
Diapositiva 6
Segno di attraversamento delle linee. Dati: AB α, CD ∩ α = C, C AB. a b Dimostrazione: Supponiamo che CD e AB giacciano sullo stesso piano. Sia questo il piano β. Dimostrare che AB Croci CD A B C D α coincide con β I piani coincidono, il che non può essere il caso, perché la linea CD interseca α. Il piano a cui appartengono AB e CD non esiste e quindi, per la definizione di rette che si intersecano, AB interseca CD. Ecc.
Diapositiva 7
Consolidamento del teorema studiato: Determinare la posizione relativa delle linee AB1 e DC. 2. Indicare la posizione relativa della retta DC e del piano AA1B1B 3. La retta AB1 è parallela al piano DD1С1С?
Diapositiva 8
Teorema: Per ciascuna delle due rette oblique passa un piano parallelo all'altro piano, e per di più solo uno. Dato: AB è incrociato con CD. Costrutto α: AB α, CD || α. A B C D Per il punto A tracciamo la linea retta AE, AE || CD. E 2. Le rette AB e AE si intersecano e formano un piano α. ABα, CD || α. α è l'unico piano. Dimostrare che α è unico. 3. Dimostrazione: α è l'unico corollario degli assiomi. Qualsiasi altro piano a cui appartiene AB interseca AE e, quindi, la linea CD.
Diapositiva 9
Compito. Costruisci un piano α passante per il punto K e parallelo alle linee che si intersecano a e b. Costruzione: Attraverso il punto K traccia una linea retta a1 || UN. 2. Attraverso il punto K traccia una linea retta b1 || B. a b K a1 b1 3. Disegna un piano α attraverso le linee che si intersecano. α è il piano desiderato.
Posizione relativa delle linee e aerei V spazio
Due dritti
Due aerei
Dritto e piano
La posizione relativa delle linee nello spazio
Non avere un punto in comune
non hanno un punto comune
Avere un punto in comune
giacciono sullo stesso piano
giacciono sullo stesso piano
non giacciono sullo stesso piano
incrociarsi
parallelo
intersecare
V
V
UN
UN
UN
UN
V
Dato un cubo ABCDA 1B1C1D1
B 1
C 1
Si prega di indicare:
- Archi che giacciono su linee parallele al bordo AA 1
- Bordi che giacciono su linee rette che intersecano il bordo AA1
- Rette che si incrociano con la retta AA1
UN 1
D 1
B
C
UN
D
Data una piramide ABCD Specificare:
1.piani in cui giacciono le rette PE, MK, DB, AB, EC;
2.punti di intersezione della retta DK con il piano ABC, della retta CE con il piano ADB;
3. punti giacenti nei piani ADB e DBC;
4. rette lungo le quali si intersecano i piani ABC e DCB, ABD e CDA, PDC e ABC.
La posizione relativa di una linea retta e di un piano nello spazio
hanno molti punti in comune
Avere un punto in comune
Non avere punti in comune
La retta giace nel piano
Una linea retta interseca un piano
La retta e il piano sono paralleli
UN
UN
UN
UN
UN
UN ‖
S
Data una piramide ABCS
Si prega di indicare:
1. Linee che giacciono nel piano BSC
2. Rette che intersecano il piano ABC
UN
CON
Controlliamo:
DI
A
1. SB,SC,BC,SK
2. SA, SB, SC, SK, SO
IN
Disposizione reciproca degli aerei nello spazio
Ci sono punti comuni
Non ci sono punti comuni
i piani sono paralleli
gli aerei si intersecano
Con
‖
Appunti delle lezioni di geometria, grado 10. (Atanasyan L.S.)Risoluzione dei problemi sull'argomento "Parallelismo di rette e piani. La posizione relativa delle linee nello spazio"
Obiettivi della lezione:
a) educativo:
ripetere il materiale teorico sull'argomento “Parallelismo di rette e piani. La posizione relativa delle linee nello spazio";
Rafforzare le competenze:risolvere problemi di dimostrazione basati su argomentazioni precise (conoscenza del materiale teorico);
quando si risolvono problemi stereometrici, applicare le conoscenze acquisite dallo studio della planimetria;
Quando si completa un disegno per un'attività, tenere conto della chiarezza e delle regole per rappresentare le figure spaziali
b) sviluppare: sviluppo delle competenze
lavoro indipendente,
pensiero spaziale, pensiero logico;
c) educativo: educare gli studenti
la capacità di ascoltarsi a vicenda, porre domande e valutare ragionevolmente le risposte;
interesse per l'argomento
Tipo di lezione: lezione sul miglioramento delle conoscenze, delle abilità e delle abilità
Attrezzatura: computer, proiettore, presentazione
Avanzamento della lezione.
Momento organizzativo. Verifica della preparazione per la lezione.
Motivazione della lezione.
Diapositiva 3. La geometria è piena di avventure perché dietro ogni problema c'è un'avventura di pensiero. Risolvere un problema significa vivere un’avventura.
(V. Proizvolov). Oggi in classe vivremo tante avventure.
Aggiornamento delle conoscenze di base.
Diapositiva 4. Quando si studia la stereometria, è molto importante essere in grado di guardare e vedere, notare e distinguere, rappresentare e indovinare. Quando risolviamo problemi stereometrici, impareremo a vedere il “non ovvio”. Iniziamo con la ripetizione.
Nomina le figure base della stereometria.
Formulare metodi per definire un piano.
Diapositiva 5.
- Formulare la definizione di retta parallela ad un piano.
- Formulare un segno di parallelismo tra una retta e un piano.
Enuncia un importante corollario relativo a due piani che si intersecano, uno dei quali contiene una linea parallela all'altro piano.
Elencare i casi di posizioni relative delle linee nello spazio.
Formulare la definizione di rette parallele e oblique.
Formulare il segno delle rette che si intersecano.
Formulare la definizione dell'angolo tra due linee che si intersecano.
Quale angolo è chiamato angolo tra le linee che si intersecano?
Diapositiva 7.8. Lavoro orale. Compito 1.
1) Dato: punti A, B, C, D non appartengono allo stesso piano.
Dimostrare: tre punti qualsiasi sono vertici di un triangolo.
Per prima cosa, uno studente racconta la soluzione del problema, poi mostra come può essere scritta la soluzione. Perché Poiché il metodo per contraddizione si incontra spesso quando si risolvono i primi problemi stereometrici, è necessario dimostrare ancora una volta l'algoritmo per l'utilizzo di questo metodo.
Diapositiva 9. Attività 2.
Perché Nelle prime lezioni di stereometria, gli studenti hanno difficoltà a scrivere le soluzioni ai problemi, poi, dopo aver risolto il problema oralmente, viene mostrato come possono scrivere la soluzione a questo problema utilizzando segni geometrici e notazioni matematiche.
Diapositiva 10. Attività 3. Trova l'angolo tra le linee che si intersecano.
Qual è l'angolo tra due linee che si intersecano?
Risoluzione dei problemi.
Diapositiva 11. Risolvilo tu stesso sui tuoi quadernicompito 1 .
Puoi chiamare uno studente alla lavagna per risolvere un problema su una parte della lavagna chiusa agli studenti.
Diapositiva 12. Gli studenti poi discutono e verificano la soluzione.
Diapositiva 13. Compito 2. Sulla base di questa condizione, fai un disegno, crea un modello verbale del problema e determina il valore che può essere trovato in base a questa condizione.
Uno studente viene chiamato alla lavagna e risolve il problema con il minimo aiuto da parte dell'insegnante. Dopo che il problema è stato risolto alla lavagna, l'insegnante mostra come si potrebbe scrivere la soluzione. Discussione.
Diapositiva 14. Compito n.3. La retta MK è parallela al lato CD del rombo ABCD e non giace nel piano del rombo. a) Trovare la posizione relativa delle rette MK e BC b) Trovare l'angolo tra le rette MK e BC se
Per prima cosa si discute con la classe il disegno del problema e la soluzione. Gli studenti poi scrivono la loro soluzione. Il disegno finito per l'attività può essere lasciato secondo necessità. Una volta risolto il problema, l'insegnante mostra come potrebbe essere scritta la soluzione.
Riassumendo.
Gli studenti nominano quali informazioni teoriche sono state utilizzate per risolvere i problemi.
Riflessione
7) Compiti a casa.
Ripetere i passaggi da 1 a 9.
Risolvi i punti n. 45 (a), 46 (a), 38 (a).
Ripeti i numeri 11,23,26
La posizione relativa delle rette e dei piani nello spazio
Diapositiva 2
Tutte le costruzioni su un piano sono realizzate con strumenti di disegno e le costruzioni sono accurate, ma le costruzioni nello spazio possono essere eseguite schematicamente. Pertanto, i termini "disegnare un piano (linea)" sono usati nel senso di "dimostrare l'esistenza di un piano (linea)" che soddisfa le condizioni stabilite.
Diapositiva 3: Possibili posizioni delle linee nello spazio:
Diapositiva 4
4 b a b Tre casi di posizioni relative di linee nello spazio n m l p n m l p II a
Diapositiva 5
linee rette nello spazio Hanno un punto comune Non hanno punti comuni si intersecano parallele si intersecano
Diapositiva 6
Definizione: Due rette si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non hanno un punto in comune né coincidono. Definizione: due rette si dicono che si intersecano se non si intersecano o se sono parallele. Definizione: due rette si dicono intersecanti se giacciono sullo stesso piano e hanno un punto in comune.
Diapositiva 7: Compito: Attraverso un dato punto K traccia una linea parallela a una data linea a
Dato: K a Dimostrare: ! b: K b, b a Dimostrazione: Costruzione 1. Disegniamo il piano α attraverso la retta a, ecc. K. (secondo Sl.1) 2. Tracciamo una retta b, b a passante per il punto K nel piano α (planimetria A) Unicità (per assurdo) 1. Sia b 1: K b 1,. b 1 a .Per mezzo delle rette aeb 1 si può tracciare un piano α 1 (secondo Sl. 3) 2. Linea a, perché α 1 ; α 1 = α (tramite un punto e una linea nello spazio) (SL.1). 3. b = b 1 (A linee parallele). Il teorema è stato dimostrato. Ad un b
Diapositiva 8
TEOREMA 1. Se una di due rette giace su un piano e l'altra interseca questo piano in un punto che non appartiene alla prima retta, allora queste rette si intersecano. Nota: non è possibile disegnare un piano attraverso linee che si intersecano. Dato: Dimostrare: a A
Diapositiva 9
II. La posizione relativa di una retta e di un piano. La retta giace nel piano. Una linea retta interseca un piano. La retta non interseca il piano. Molti punti in comune. L'unico punto in comune. Non ci sono punti comuni. g a g a M g a a Ì g a Ç g = M a Ë g
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Diapositiva 10
a c La posizione relativa di una linea retta e di un piano nello spazio. b K
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Diapositiva 11
Definizione. Una retta e un piano si dicono paralleli se non hanno un punto in comune o se la retta giace nel piano. Considera il seguente segno di parallelismo tra una linea e un piano
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Diapositiva 12
TEOREMA 2. Se una retta è parallela a una retta giacente in un piano, allora la retta data e il piano sono paralleli. Dato: Dimostrare:
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Diapositiva 13
TEOREMA 3 (inverso) Se un piano passa per una linea parallela ad un altro piano e interseca questo piano, allora la linea di intersezione dei piani è parallela a questa linea. Dato: β ∩ α = Dimostrare: Dimostrazione: 1) a, b β a non può ∩ b, perché altrimenti a ∩ α, il che contraddice la condizione. Quindi a in α Il teorema è dimostrato.
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Diapositiva 14
TEOREMA 4. Se un piano è tracciato attraverso ciascuna di due linee parallele, e questi piani si intersecano, allora la loro linea di intersezione è parallela a ciascuna di queste linee. Dato: Dimostrazione: Dimostrare: a b α β = c c a, c b α Per a tracciamo α, per b – β, e α ∩ β = c Con il criterio || retta e piano a || β, poi con a (T.3) Allo stesso modo, c|| B
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Diapositiva 15
Dimostrazione: consideriamo un caso. dentro, con β; a, c α 1. Prendiamo t.M, M a Attraverso t.M e c disegniamo il piano α, b e M disegniamo il piano β; 2. T 4: α β = MN (linea di intersezione dei piani b e c) 3. Attraverso T.M non è possibile tracciare due rette diverse с, quindi MN e a coincidono. 4. Ma poiché (MN) b, allora a b in c Il teorema è dimostrato. Teorema 5. Se due rette sono parallele a una terza, allora sono parallele tra loro. Dati: a c, b c Dimostrare: a b α M N
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Diapositiva 16
e M La retta giace nel piano La retta interseca il piano Quanti punti hanno in comune la retta e il piano?
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Diapositiva 17
Metodi per definire i piani Figura Come si può definire un piano in modo univoco nello spazio? 1. Da tre punti 2. Da una retta e da un punto non appartenente ad essa. 3. Lungo due linee che si intersecano. 4. Lungo due linee parallele.
Disposizione reciproca di linee nello spazio Esistono tre casi possibili di disposizione reciproca di due linee nello spazio: - le linee si intersecano, cioè hanno un solo punto in comune: le linee sono parallele, cioè giacciono sullo stesso piano e non si intersecano: le linee rette si intersecano, ad es. non giacciono sullo stesso piano
A 2 Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora tutti i punti della retta giacciono su questo piano. La proprietà espressa nell'Assioma A 2 serve per verificare la “planarità” del righello da disegno. A tale scopo, il bordo del righello viene applicato sulla superficie piana del tavolo. Se il bordo del righello è liscio (dritto), tutti i suoi punti sono adiacenti alla superficie del tavolo. Se il bordo non è uniforme, in alcuni punti si formerà uno spazio tra loro e la superficie del tavolo.
A3 Se due piani hanno un punto in comune, allora hanno una linea comune sulla quale giacciono tutti i punti comuni di questi piani. In questo caso si dice che i piani si intersecano lungo una linea retta. Una chiara illustrazione dell'assioma A3 è l'intersezione di due pareti adiacenti, la parete e il soffitto di un'aula.
Parallelismo di una linea e di un piano Se due punti di una linea giacciono su un dato piano, allora secondo A2 tutta la linea giace su questo piano. Ne consegue che ci sono tre casi possibili di disposizione reciproca di una retta e di un piano nello spazio: a) una retta giace su un piano b) una retta e un piano hanno un punto in comune, cioè si intersecano c) a la retta e il piano non hanno un solo punto in comune
Parallelismo dei piani Sappiamo quindi che se due piani hanno un punto in comune, allora si intersecano lungo una linea retta (assioma A3). Ne consegue che due piani o si intersecano in linea retta oppure non si intersecano, cioè non hanno un solo punto in comune. Definizione Due piani si dicono paralleli se non si intersecano. Un'idea di piani paralleli è data dal pavimento e dal soffitto della stanza, da due pareti opposte, dalla superficie del tavolo e dal piano del pavimento.
Teorema Se due rette che si intersecano di un piano sono rispettivamente parallele a due rette di un altro piano, allora questi piani sono paralleli. Dimostrazione Consideriamo due piani e β. Nel piano si trovano le linee rette a e b che si intersecano nel punto M, e nel piano β ci sono le rette a 1 e b 1, e a a 1 e b 1. Dimostriamo che β. Innanzitutto notiamo che in base al parallelismo di una retta e di un piano, a β e b β. Supponiamo che i piani e β non siano paralleli. Quindi si intersecano lungo una linea retta c. Abbiamo trovato che il piano passa per la retta a, parallela al piano β, e interseca il piano β in linea retta. Ne consegue (per la proprietà 1 0) che le rette a e c sono parallele. Ma il piano passa anche per la retta b parallela al piano β. Quindi a.C. Pertanto, due linee a e b passano per il punto M, parallele alla linea c. Ma questo è impossibile, poiché secondo il teorema delle rette parallele, per il punto M passa una sola retta, parallela alla retta c. Ciò significa che la nostra ipotesi è errata e, quindi, β. Il teorema è dimostrato..
