Kass ja rebane on vene rahvajutt, mida inimesed armastavad kuulata, lugeda ja...
Rohelised ja maitsetaimed
Vaatleme ringi \(C\), mille keskpunkt \(O\) raadiusega \(R\) tasapinnal \(\alpha\). Läbi iga punkti \(C\) tõmbame sirge, mis on risti tasapinnaga \(\alpha\) . Nendest sirgjoontest moodustatud pinda nimetatakse silindriline pind.
Sirgeid endid nimetatakse moodustamine sellest pinnast.
Joonistame nüüd tasapinna \(\beta\parallel \alpha\) läbi mõne generaatori punkti. Punktide kogum, mida mööda generaatorid lõikuvad tasapinnaga \(\beta\), moodustab ringi \(C"\), mis võrdub ringiga \(C\) .
Ruumiosa, mis on piiratud kahe ringiga \(K\) ja \(K"\), mille piirid on vastavalt \(C\) ja \(C"\), samuti osa tasandite vahele jäävast silindrilisest pinnast \(\alpha\) ja \(\beta\) , kutsutakse silinder.
Ringe \(K\) ja \(K"\) nimetatakse silindri alusteks; tasandite vahele jäävate generatriktsioonide segmendid on silindri generaatorid; nende moodustatud silindrilise pinna osa on külgpind. silindri aluste keskpunkte ühendav segment on võrdne silindri generaatoriga ja võrdne silindri kõrgusega (\(l=h\) ).
Teoreem
Silindri külgpind on võrdne \
kus \(R\) on silindri põhja raadius, \(h\) on kõrgus (generatiivne).
Teoreem
Silindri kogupindala on võrdne külgpinna pindala ja mõlema aluse pindalade summaga \
Teoreem
Silindri maht arvutatakse valemiga \
\[(\Large(\text(Cone)))\]
Vaatleme tasapinda \(\alpha\) ja sellel ringi \(C\) keskpunktiga \(O\) ja raadiusega \(R\) . Läbi punkti \(O\) tõmbame sirge, mis on risti tasapinnaga \(\alpha\) . Märgime sellel real mingi punkti \(P\). Pinda, mille moodustavad kõik punkti \(P\) ja ringi iga punkti \(C\) läbivad sirged, nimetatakse kooniline pind, ja need sirged on koonilise pinna generaatorid. Ruumi osa, mis on piiratud ringiga, mille piir on \(C\), ja generaatorite segmendid, mis jäävad punkti \(P\) ja ringi punkti vahele, nimetatakse koonus. Segmente \(PA\) , kus \(A\in \text(env. ) C\) nimetatakse koonuse moodustamine; punkt \(P\) – koonuse tipp; piiriga ring \(C\) – koonuse alus; segment \(PO\) – koonuse kõrgus.
Kommenteeri
Pange tähele, et koonuse kõrgus ja generatriks ei ole üksteisega võrdsed, nagu see oli silindri puhul.
Teoreem
Koonuse külgpindala on võrdne \
kus \(R\) on koonuse aluse raadius, \(l\) on generaator.
Teoreem
Koonuse kogupindala on võrdne külgpinna ja aluspinna summaga \
Teoreem
Koonuse maht arvutatakse valemiga \
Kommenteeri
Pange tähele, et silinder on teatud mõttes prisma, ainult selle põhjas pole hulknurk (nagu prisma), vaid ring.
Silindri ruumala valem on sama, mis prisma ruumala valem: aluse pindala ja kõrguse korrutis.
Samuti on koonus teatud mõttes püramiid. Seetõttu on koonuse ruumala valem sama, mis püramiidi oma: kolmandik aluse pindalast korrutatakse kõrgusega.
\[(\Large(\tekst(kera ja pall)))\]
Vaatleme punktide kogumit ruumis, mis on võrdsel kaugusel mingist punktist \(O\) kaugusel \(R\) . Seda komplekti nimetatakse sfäär mille keskpunkt on raadiuse \(R\) punktis \(O\).
Kera kahte punkti ühendavat lõiku, mis läbib selle keskpunkti, nimetatakse sfääri läbimõõduks.
Kera koos selle sisemusega nimetatakse pall.
Teoreem
Sfääri pindala arvutatakse valemiga \
Teoreem
Palli maht arvutatakse valemiga \
Definitsioon
Sfääriline segment on kuuli osa, mis on sellest teatud tasapinnaga ära lõigatud.
Lase tasapinnal ristuda palliga ringis \(K\), mille keskpunkt on punktis \(Q\) . Ühendame punktid \(O\) (palli keskpunkt) ja \(Q\) ning pikendame seda lõiku, kuni see lõikub keraga – saame raadiuse \(OP\) . Seejärel nimetatakse lõiku \(QP\) lõigu kõrguseks.
Teoreem
Olgu \(R\) kuuli raadius, \(h\) lõigu kõrgus, siis on sfäärilise segmendi maht võrdne \
Definitsioon
Sfääriline kiht on kuuli osa, mis on ümbritsetud kahe paralleelse tasandiga, mis lõikuvad seda kuuli. Ringe, mida mööda tasapinnad palliga lõikuvad, nimetatakse sfäärilise kihi alusteks, aluste keskpunkte ühendavat lõiku sfäärilise kihi kõrguseks.
Palli kaks ülejäänud osa on sel juhul sfäärilised segmendid.
Sfäärilise kihi ruumala on võrdne sfääri ruumala ja kõrgustega \(AP\) ja \(BT\) sfääriliste segmentide mahtude vahega.
Palli sisse kirjutatud koonuse (sfääri sisse kirjutatud koonuse) ülesannete lahendamine taandub ühe või mitme kolmnurga arvestamisele.
Koonus on kuuli sisse kirjutatud, kui selle tipp ja aluse ümbermõõt asetsevad kuuli pinnal, st keral. Kuuli keskpunkt asub koonuse teljel.
Palli sisse kirjutatud koonust puudutavate ülesannete lahendamisel on mugav arvestada kehade kombinatsiooni läbilõiget tasapinnaga, mis läbib koonuse telge ja kuuli keskpunkti. Lõige on kuuli suur ring (see tähendab ring, mille raadius on võrdne kuuli raadiusega), millesse on kirjutatud võrdhaarne kolmnurk - koonuse telglõik. Selle kolmnurga küljed on koonuse moodustavad osad, alus on koonuse läbimõõt.
Kui generaatorite vaheline nurk on terav, asub piiritletud ringi keskpunkt kolmnurga sees (vastavalt on ümber koonuse ümbritsetud kuuli keskpunkt koonuse sees).
Kui generaatorite vaheline nurk on õige, asub ringi keskpunkt kolmnurga aluse keskel (kuuli keskpunkt langeb kokku koonuse aluse keskpunktiga).
Kui generaatorite vaheline nurk on nüri, asub ringi keskpunkt kolmnurgast väljaspool (piiratud kuuli keskpunkt asub väljaspool koonust).
Kui ülesandepüstitus ei ütle, kus täpselt asub piiritletud kuuli keskpunkt, on soovitatav mõelda, kuidas saab lahendust mõjutada erinevaid valikuid selle asukoht.
Vaatleme koonust ja kuuli, mis on ümbritsetud tasapinnaga, mis läbib koonuse telge ja kuuli keskpunkti. Siin SO=H on koonuse kõrgus, SB=l on koonuse generatriks, SO1=O1B=R on kuuli raadius, OB=r on koonuse aluse raadius, ∠OSB=α on nurk kõrguse ja koonuse generaatori vahel.
Kolmnurk SO1B on võrdhaarne alusega SB (kuna SO1=O1B=R). See tähendab, et selle aluse nurgad on võrdsed: ∠OSB=∠O1BS=α ja O1F on mediaan, kõrgus ja poolitaja. Seega SF=l/2.
Palli sisse kirjutatud koonust puudutavate ülesannete lahendamisel võib kaaluda täisnurkseid kolmnurki SFO1 ja SOB. Need on sarnased (tervnurga S järgi). Kolmnurkade sarnasusest
Täisnurkses kolmnurgas SOB ∠OBS=90º - ∠OSB=90º-α. Pythagorase teoreemi järgi
Täisnurkses kolmnurgas O1OB ∠OBO1=90º - ∠O1BS=90º - α - α=90º - 2α.
Definitsioon. Sfääri nimetatakse silindrisse sisse kirjutatud, koonus, kärbitud koonus, kui silindri, koonuse, tüvikoonuse iga generatriks puutub sfääriga ja silindri, koonuse, tüvikoonuse aluse iga tasapind puudutab sfääri punktis, mis asub aluse sees.
Sel juhul öeldakse, et sfääri ümber on kirjeldatud silindrit, koonust või tüvikoonust.
1. teoreem. Seal on koonusesse kirjutatud kera.
Peame tõestama, et sfääri saab kirjutada koonusesse. Kuna me teame, et koonus on sümmeetriline iga selle kõrgust läbiva lõigu suhtes, siis kui tõestame, et ringi saab kirjutada igasse sellisesse lõiku (kõikide ringide keskpunkt on sama), siis tõestame, et ringjoon on saab kirjutada koonussfääriks.
Vaatleme koonuse lõiku, mis läbib koonuse kõrgust.
Koonuse ristlõige on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on BC. Kõrgus OA on samuti poolitaja. Seetõttu asub sissekirjutatud ringi O 1 keskpunkt OA-l (teadaolevalt võib ringi kirjutada igasse kolmnurka). Ja kuna kõik muud vaadeldavad lõigud on võrdsed ABC-ga, langevad sisse kirjutatud ringide keskpunktid kokku. See tähendab, et koonusesse saab kirjutada kera, mille keskpunkt on O 1 ja raadius O 1.
2. teoreem.Kera saab silindrisse kirjutada siis ja ainult siis, kui selle kõrgus on võrdne aluste läbimõõduga.
Siin käsitleme jaotisi, mis on ristkülikud. Ringi saab kirjutada ainult ruutu, sellest tuleneb tingimus, et kõrgus on võrdne aluse läbimõõduga.
3. teoreem. Kera saab kärbitud koonusesse kirjutada siis ja ainult siis, kui selle generatriks on võrdne aluste raadiuste summaga.
Põhiülesanded.
Ülesanne 1. Seal on kaks ühesugust kuuli raadiusega R, mis puudutavad üksteist väliselt ja tasapinnaliselt. Leidke pallide ja tasapinna kokkupuutepunktide vaheline kaugus.
Vaatleme lõiku, mis on risti tasapinnaga, millel pallid asuvad. Kuna need pallid puudutavad üksteist, on tasapind, mida nad puudutavad punktis K. See tasapind on risti esimese tasapinnaga. Seetõttu on nurgad AO 1 K ja KO 2 B täisnurgad ja seetõttu on ABO 2 O 1 ristkülik. Seega AB=2R.
2. ülesanne. Kaks kuuli raadiustega R 1 ja R 2 asuvad tasapinnal ja puudutavad väliselt. Leidke pallide ja tasapinna kokkupuutepunktide vaheline kaugus.
Vaatleme lõiku, mis on risti tasapinnaga, millel pallid asuvad. Punktid A ja B on pallide ja tasapinna kokkupuutepunktid. Alandame risti O 2 K väärtusele AO 1. KO 1 = AO 1 -KA. Kui võtta arvesse, et KA = O 2 B = R 2 ja O 1 O 2 = R 1+ R 2, siis Pythagorase teoreemi järgi 
. Ja kuna KABO 2 on ristkülik, siis KA = AB, Seega 
meeldib Jaga 885 vaatamist
Geomeetria tundide esitlus 11. klass. Kera. Vallaharidusasutuse lütseumi nr 18 matemaatikaõpetaja I.V. Ettekande tegi 11-4 klassi õpilane Katerina Svintsova. Sisukord:. 2. sisukord 3. sissejuhatus 13. ulatuse määratlused
Laadige alla esitlus
Kera
E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Seotud esitlusi pole.
Esitluse ärakiri
Kera) Sfääril on mitu definitsiooni: 1. Suletud pind. 2. Ulatus, millegi leviku piirid. (Näiteks gravitatsiooni toimesfäär). 3. Seadistus, keskkond, sotsiaalne keskkond. (Näiteks teenindussektor)
Seda punkti nimetatakse sfääri keskpunktiks (punkt O) ja seda kaugust sfääri raadiuseks (ladina keeles R). Vaata joon. 1 Segmenti, mis ühendab kera kahte punkti ja läbib selle keskpunkti, nimetatakse sfääri läbimõõduks. Kera on pind, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis asuvad antud punktist teatud kaugusel. Riis. 1
Pange tähele, et kera saab saada poolringi ümbermõõdu ümber pööramisel. Vaata joon. 2 Sfääri sees asuvat ruumiosa nimetatakse palliks. Vaata joon. 3 Joon. 2 Kera keskpunkti, raadiust ja läbimõõtu nimetatakse ka kuuli keskpunktiks, läbimõõduks ja raadiuseks. Riis. 3
Matemaatiline distsipliin, mis uurib sfääril paiknevaid geomeetrilisi kujutisi, täpselt nagu planimeetria uurib tasapinnal paiknevaid geomeetrilisi kujutisi.
Kera, annab ristlõikes teatud ringi; Kui kaks suurt ringi ristuvad sfääril, moodustavad nad nelja sfäärilise diagonaali. Nagu näiteks joonisel 4. Riis. 4
Diameetriliselt vastassuunalised punktid, mis lõikuvad ühes paaris, moodustavad sfääril kaheksa kerakujulised kolmnurgad Vt. riis. 5 Joon. 5
Kolmnurga (Euleri) puhul on kumbki külg väiksem kui summa ja suurem kui kahe teise külg; kõikide külgede summa on alati väiksem kui 2P. Sfäärilise kolmnurga nurkade summa on alati väiksem kui 3P ja suurem kui P. Erinevust s-P=E, kus s on sfäärilise kolmnurga nurkade summa, nimetatakse sfääriliseks üleliigseks.
See määratakse täielikult kindlaks kahe numbri määramisega - need numbrid on koordinaadid. Koordinaatide sisestamine sfäärile võimaldab uurida sfäärilisi kujundeid sarnaste geomeetria meetodite abil. Niisiis, kaks võrrandit
Määrake sfääril kindel joon. Selle sirge kaare M1 ja M2 pikkus arvutatakse valemiga kus t1 ja t2 on parameetri t väärtus, mis vastab kaare M1M2 otstele M1 ja M2. Joonisel fig. 6 Joon. 6
Matemaatiline distsipliin, mis uurib sfääriliste kolmnurkade nurkade ja külgede vahelisi seoseid. Olgu A, B, C nurgad a, b, c – sfäärilise kolmnurga ABC vastasküljed Sfäärilise kolmnurga nurgad ja küljed on omavahel seotud järgmiste põhivalemitega: sin a / sin A=sin b / sin. B=sin c /sin C, cos a =cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B=cos b sin c – sin b cos c cos A, Sin A cos b=cos B sin C + sin B cos C cos a;
Neid mõõdetakse vastavate kesknurkade järgi, nende külgede pikkused on võrdsed vastavalt aR, bR, cR, kus R on kera raadius. Muutes nurkade ja külgede tähistusi vastavalt ringikujulise permutatsiooni reeglile, saate kirjutada muid sfäärilise trigonomeetria valemeid, mis on sarnased näidatud valemitega. Need valemid võimaldavad teil määrata sfäärilise kolmnurga ülejäänud kolm elementi (lahendada kolmnurka). sfäärilise kolmnurga mis tahes kolm elementi.
Tuletame raadiusega R sfääriga C (x0;y0;z0) võrrandi. (Joonis 7) Kaugus suvalisest punktist M (x;y;z) punktini c arvutatakse valemiga Kui punkt M asub antud sfääril, siis MC=R, või MC2=R2, s.o. punkti M koordinaadid vastavad võrrandile (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (1) Kui punkt M (x; y; z) ei asu antud sirgel sfäär, siis MC2 ei võrdu R2-ga, st. punkti M koordinaadid ei vasta võrrandile (1). Riis. 7
Koordinaatsüsteemis on raadiusega R sfääri võrrand, mille keskpunkt on C (x0; y0; z0), kujul (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Lennukid
Kaugus selle keskpunktist tasapinnani a on täht d. Tutvustame koordinaatide süsteemi: Oxy tasand langeb kokku a-tasandiga ja sfääri keskpunkt C asub positiivsel poolteljel Oz. Selles koordinaatsüsteemis on punktil C koordinaadid (0; 0; d), seetõttu on sfääril võrrand x2 + y2 + (z – d)2 = R2 (1) Ja tasapind a langeb kokku Oxy koordinaatidega tasapinnal ja seetõttu on selle võrrandi vaade z = 0. (2) (selgitage, miks)
Punktid M (x; y; z) rahuldavad võrrandeid (1) ja (2), siis punkt M asub nii a-tasandil kui ka sfääril, s.t. See on ühine tasapinna ja sfääri punktiga. Kui nende kahe võrrandi (1) ja (2) süsteemil pole lahendeid, siis ei ole sfääril ja tasapinnal ühiseid punkte. Nii et küsimus on umbes suhteline positsioon sfäär ja tasapind taandatakse võrrandisüsteemi uurimisele Z = 0 X2 + y2 + (z – d)2 = R2 Asendades z = 0 teise võrrandiga, saame X2 + y2 = R2 – d2 (3) Kolm juhtumid on võimalikud, kaalume neid.
Kas ringjoone võrrand raadiusega r = ruutjuur R2 – d2, mille keskpunkt on Oxy tasandi punktis She. Selle ringi mis tahes punkti M (x; y; 0) koordinaadid rahuldavad nii tasapinna kui ka sfääri võrrandi, s.t. kõik selle ringi punktid on tasapinna ja sfääri ühised punktid. Joonis (8) Seega, sel juhul ristuvad kera ja tasapind piki ringjoont Seega, kui kaugus kera keskpunktist tasapinnani on väiksem kui kera raadius, siis sfääri läbilõige. lennuki juures on ring. Joonis (8)
Rahulduvad ainult arvud x = 0, y = 0 Järelikult rahuldavad mõlemat võrrandit ainult punkti O koordinaadid, s.t. O on sfääri ja tasandi ainus ühine punkt. Joonis (9) Seega, kui kaugus kera keskpunktist tasapinnani on võrdne sfääri raadiusega, siis on keral ja tasapinnal ainult üks ühine punkt. Riis. (9)
Mis tahes punkti koordinaadid ei rahulda Järelikult, kui kaugus sfääri keskpunktist on sfääri raadiusest suurem, ei ole toosfääril ja tasapinnal ühiseid punkte. Riis. (10) Joon. (10)
Tasapinda, millel on sfääriga ainult üks ühine punkt, nimetatakse sfääri puutujatasandiks ning nende ühist punkti nimetatakse tasandi ja sfääri vaheliseks puutepunktiks.
Sfääri ja tasandi kokkupuutepunkti tõmmatud sfääri raadius on puutujatasandiga risti
Tasapind puutuja sfääriga sfääriga O punktis A. Tõesta: OA on risti tõestusega: Vaatleme meetodit vastuoluliselt. Siis on raadius OA tasapinna suhtes kaldu ja seetõttu on kaugus sfääri keskpunktist tasapinnani väiksem kui kera raadius. Seetõttu ristuvad tasapind ja kera mööda ringi. Aga see on vastuolus tingimusega, s.t. keral ja tasapinnal on ainult üks ühine punkt. See tähendab, et raadius OA on tasapinnaga risti. Teoreem on tõestatud.
Teoreem: Kui raadius on risti tasapinnaga, mis läbib selle sfääril asetsevat otsa, siis on see tasapind sfääri puutuja.
Tasapind, mille puutuja on sfääriga sfääriga sfääriga sfääriga punktis A. Tõesta: OA on risti tõestusega: Teoreemi tingimustest järeldub, et antud raadius on rist, mis on tõmmatud kera keskpunktist antud tasapinnaga. Seetõttu on kaugus sfääri keskpunktist tasapinnani võrdne sfääri raadiusega, seetõttu on sfääril ja tasapinnal ainult üks ühine punkt. See tähendab, et see tasapind on sfääri puutuja. Teoreem on tõestatud
Öeldakse, et hulktahukas on sfääri (palli) ümber piiratud, kui kera puudutab kõiki selle tahke. Kera kohta öeldakse, et see puudutab hulknurga tahku, kui sfääri tasand puutub sfääriga ja puutepunkt kuulub tahu külge. Sel juhul öeldakse, et kera on kirjutatud hulktahukasse.
Polüheedrite pindalade järjestused, mida kirjeldatakse sfääri ümber kui iga tahu suurim suurus, kipuvad olema nulli. Valem raadiusega R: S = 4ПR2
Otsene. Tasapind lõikab sfääri piki ringjoont L, mille keskpunkt O ja raadius R. On selge, et kõik kera ja sirge a ühised punktid (kui neid on) asuvad tasapinnal a ja seetõttu ringjoonel L. 3 juhtumit on võimalik:
Punktist A tõmmatud puutujalõigud. Neil on järgmised omadused: ühest punktist tõmmatud sfääri puutujalõigud on võrdsed ja moodustavad seda punkti ja sfääri keskpunkti läbiva sirgjoonega võrdsed nurgad.
Silindriline pind Kera on silindrilise pinna sisse kirjutatud, kui see puudutab kõiki selle koostisosi. Tõestame, et: Tasapinnaga a ja silindrilise pinnaga on puutuja.
OH on risti tasapinnaga a ja tähega A tähistame kiire OH ja sfääri S lõikepunkti. (Joonis 11) Kui punktid A ja H langevad kokku, siis tõmbame läbi punkti A sirge, mis on paralleelne generaatorid ja tähistage tähega B selle lõikumispunkti tasapinnaga a. vektorite AB paralleelsel ülekandmisel muundub sfäär S raadiusega r sfääriks S’, mille keskpunkt O’ asub sirgel OO1 (joonis 12), nii et see kera puudutab silindrilist pinda. Kaugus O’ tasandist a võrdub O’B = OA (selgitage, miks), st. võrdne raadiusega r. Järelikult puudutab kera S’ tasapinda a, s.t. on soovitud väide. Riis. 11 Joon. 12
PINNA Kera on kirjutatud koonilisele pinnale, kui see puudutab kõiki selle koostisosi. Olgu RA üks koonuse generaatoreid. Vaatleme mõnd tasapinda a, mis lõikab koonilise pinna generatriksi RA punktis B, mis asub kiirel RA. Tõestame omal jõul, et on olemas sfääri puutuja tasapinnaga a ja koonilise pinnaga. Vaata joon. 13 Joon. 13
Mõelge SABCD püramiidile. Olgu P aluse ABCD ümbermõõt, mis asub sfääri ABCD lõikest (palli piirist) tuleneva ringi sees. Selle ringi raadius on r<=1. Продолжим отрезки АВ, ВС, CDи DA соответственно за точки B, C, Dи А до пересечения с окружностью в точках В1, С1, D1 и А1 соответственно. По неравенству треугольника
R<=Р1, где Р1 – периметр четырехугольника А1В1С1D1..Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длинны этой окружности, поэтому р1<2Пr<=2ПДлинна каждого из ребер SA, SB, SC, SDне превосходит 2. поэтому если L – сумма длин всех сторон пирамиды, тоL=SA + SB + SC + SD + P < 2 + 2 + 2 + 2 + P1 < 8 + 2П< 15
Koonusesse kantud püramiid Püramiidi nimetatakse koonusesse kantuks, kui selle põhi on kantud koonuse põhja ja selle tipp langeb kokku koonuse tipuga. Sel juhul öeldakse, et koonus on püramiidi ümber piiratud. Koonusesse kantud püramiid Koonust saab kirjeldada püramiidi ümber siis ja ainult siis, kui saab kirjeldada ringi ümber selle aluse. Ülesanne 1 Leia korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse külg, mis on kantud koonusesse, mille aluse raadius on võrdne 1-ga. Vastus: 3. Ülesanne 2 Leia korrapärase nelinurkse püramiidi aluse külg, mis on kantud koonusesse, mille aluse läbimõõt on võrdne 1-ga. Vastus: 2 2. Ülesanne 3 Leidke korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse külg, mis on kirjutatud koonusesse, mille aluse raadius on 1. Vastus: 1. Püramiid, mis on ümbritsetud koonuse ümber Püramiidi kohta öeldakse, et see on ümbritsetud koonuse ümber, kui selle põhi on ümbritsetud koonuse ümber koonuse põhi ja selle tipp langeb kokku koonuse tipuga. Sel juhul öeldakse, et koonus on püramiidi sisse kirjutatud. Ümber koonuse ümbritsetud püramiid Püramiidi saab koonust kirjutada siis ja ainult siis, kui selle alusele saab kirjutada ringi. Ülesanne 1 Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse külg, mis on ümbritsetud koonuse ümber, mille aluse raadius on võrdne 1-ga. Vastus: 2 3. Ülesanne 2 Leia korrapärase nelinurkse püramiidi aluse külg, mis on ümbritsetud koonuse ümber, mille aluse raadius on on 1. Vastus: 2. Harjutus 3 Leia korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse külg, mis on ümbritsetud koonuse ümber, mille aluse raadius on 1. Vastus: 2 3 3. Koonusesse kantud kera Sfääri nimetatakse koonusesse kantuks, kui see puudutab selle alust ja külgpinda (puudub iga generatriksiga). Sel juhul öeldakse, et koonus on sfääri ümber piiratud. Koonusesse kantud kera Sfääri nimetatakse koonusesse kantuks, kui see puudutab selle alust ja külgpinda (puudub iga generatriksiga). Sel juhul öeldakse, et koonus on sfääri ümber piiratud. Sfääri saab kirjutada mis tahes koonusesse (sirge, ringikujuline). Selle kese on koonuse kõrgusel ja selle raadius on võrdne kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiusega, mis on koonuse telglõik. Tuletame meelde, et kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius r leitakse S valemiga r, p kus S on pindala, p on kolmnurga poolperimeeter. Harjutus 1 Kera kantakse koonusesse, mille aluse raadius on 1 ja generatriks on 2. Leidke selle raadius. Lahendus. Kolmnurk SAB on võrdkülgne. SH kõrgus on 3. Pindala S on võrdne Poolperimeeter p võrdub 3. Kasutades valemit r = S/p saame r 3 3 . 3. Harjutus 2 Kera raadiusega 1 on kantud koonusesse, mille põhiraadius on 2. Leia koonuse kõrgus. Lahendus. Olgu h koonuse kõrgus SH. Valemist r = S/p saame: 2 rp h, a kus r = 1, a = FG = 4, p = 2 Võrrandi lahendamisel leiame h 8 3 2h 2. 4 h. 2 4 h, 2 Harjutus 3 Koonuse aluse raadius on võrdne 1-ga. Generatriks on aluse tasapinna suhtes 45° nurga all. Leidke sissekirjutatud sfääri raadius. Lahendus. Koonuse kõrgus SH on võrdne 1. Generaator.2 Poolperimeeter p võrdub 1 Valemiga r = S/p saame r 1 1 Vastus: r 2 1. 2 2 1. 2. Harjutus 4 Koonuse kõrgus on 8, genereerides 10. Leidke sissekirjutatud sfääride raadius. Lahendus. Koonuse aluse raadius on 6. Kolmnurga SFG pindala on 48, poolperimeeter on 16. Kasutades valemit r = S/p, saame r = 3. Vastus: r = 3. Harjutus 5 Kas kaldkoonusesse on võimalik kera kirjutada? Vastus: Ei. Tüvikoonusesse kantud kera Kera kohta öeldakse, et see on kärbitud koonusesse, kui see puudutab selle aluseid ja külgpinda (puudub iga generatrix). Sel juhul öeldakse, et kärbitud koonus on ümbritsetud sfääriga. Kera saab kirjutada kärbikoonusesse, kui selle telglõikesse saab kirjutada ringjoone. Selle ringi raadius on võrdne sissekirjutatud sfääri raadiusega. Harjutus 1 Kera kantakse kärbikoonusesse, mille põhiraadiused on 2 ja 1. Leia kera raadius ja kärbikoonuse kõrgus. Lahendus. Meil on: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Seega A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Seega r 2, h 2 2. 2 2 2. Harjutus 2 Kera raadiusega 1 on kantud kärbikoonusesse, mille ühe aluse raadius on 2. Leia teise aluse raadius. Lahendus. Olgu A1O1= 2. Tähistame r = A2O2. Meil on: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. Pythagorase teoreemi järgi kehtib võrdus O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2, millest järeldub, et kehtib 2 2 4 (r 2) (2 r). Lahendades saadud võrrandi r-i võrrandi, leiame 1 r. 2 Harjutus 3 Tüvikoonuses on suurema aluse raadius 2, generatrix on aluse tasapinna suhtes 60° nurga all. Leidke sissekirjutatud sfääri raadius. Lahendus. Pange tähele, et koonuse telglõik, millest kärbitud koonus saadakse, on võrdkülgne kolmnurk, mille külg on 2. Tüvikoonusesse kantud sfääri raadius r on võrdne sellesse võrdkülgsesse kolmnurka kantud ringi raadiusega, s.o. 3r. 3 Harjutus 4 Tüvikoonuse generatriks on 2, telglõike pindala on 3. Leidke sissekirjutatud sfääri raadius. Lahendus. Kasutame valemit r = S/p, kus S on aksiaalne ristlõike pindala, p poolperimeeter. Meie puhul S = 3. Poolperimeetri leidmiseks tuletage meelde, et ringi ümber piiratud nelinurga puhul on vastaskülgede summad võrdsed. See tähendab, et poolperimeeter võrdub kahekordse silindri generatriksiga, s.o. p = 4. Seega r = ¾. Vastus: r 3 4 . Harjutus 5 Kas sfääri saab sobitada kärbitud kaldus koonusesse? Vastus: Ei. Ümber koonuse ümbritsetud kera Kera nimetatakse koonuse ümber piiratuks, kui koonuse tipp ja aluse ümbermõõt asuvad keral. Sel juhul öeldakse, et koonus on sfääri sisse kirjutatud. Ümber koonuse ümbritsetud kera Sfääri saab kirjeldada mis tahes koonuse ümber (sirge, ringikujuline). Selle kese on koonuse kõrgusel ja selle raadius on võrdne kolmnurga ümber kirjeldatud ringi raadiusega, mis on koonuse telglõik. Meenutagem, et kolmnurga ümber piiratud ringjoone raadius R leitakse valemiga R a b c , 4S kus S on pindala, a, b, c on kolmnurga küljed. Harjutus 1 Kirjeldatakse kera ümber koonuse, mille põhiraadius on 1 ja generatriks on 2. Leidke selle raadius. Lahendus. Kolmnurk SAB on võrdkülgne küljega 2. Kõrgus SH on 3. S pindala on 3. Kasutades valemit R = abc/4S saame R 2 3 3 . Ülesanne 2 Kera raadiusega 5 on ümbritsetud koonuse ümber, mille põhiraadius on 4. Leia koonuse kõrgus h. Lahendus. Meil on OB = 5, HB = 4. Seega OH = 3. Arvestades, et SO = OB = 5, saame h = 8. Vastus: h = 8. Harjutus 3 Koonuse aluse raadius on võrdne 1. Generaator on 45o nurga all aluse tasapinna suhtes kaldu. Leia piiritletud sfääri raadius. Lahendus. Kolmnurk SAB on ristkülikukujuline võrdhaarne kolmnurk. Järelikult on piiritletud sfääri raadius R võrdne silindri aluse raadiusega, s.o. R = 1. Vastus: R = 1. Harjutus 4 Koonuse kõrgus on 8, moodustades 10. Leia piiritletud sfääri raadius. Lahendus. Kolmnurgas SAB saame: SA = SB = 10, SH = 8. Pythagorase teoreemi järgi AH = 6 ja seega S = 48. Kasutades valemit R = abc/4S saame R 25 6. 5. ülesanne Kas on võimalik kirjeldada kaldkoonuse ümber olevat kera? Vastus: Jah. Kera, mis on ümbritsetud tüvikoonuse ümber Kera nimetatakse ümber kärbitud koonuse, kui sfääril asuvad tüvikoonuse aluste ringid. Sel juhul öeldakse, et kärbitud koonus on sfääri sisse kirjutatud. Kera saab kirjeldada ümber kärbikoonuse, kui selle telglõike ümber saab kirjeldada ringjoont. Selle ringi raadius on võrdne piiritletud sfääri raadiusega. Harjutus 1 Kirjeldatakse kera ümber kärbikoonuse, mille raadiused on 2 ja 1 ning generatriks on võrdne 2-ga. Leidke selle raadius. Lahendus. Pange tähele, et A1O1B2O2 ja O1B1B2A2 on rombid. Kolmnurgad A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 on võrdkülgsed ja seetõttu on A1B1 läbimõõt. Seetõttu R = 2. Vastus: R = 2, Harjutus 2 Tüvikoonuse väiksema aluse raadius on 1, generatriks on 2 ja moodustab teise aluse tasapinnaga 45° nurga. Leia piiritletud sfääri raadius. Lahendus. Meil on A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Seega OO2 = 1 + 2 ja seega R AO2 4 2 2. Harjutus 3 Tüvikoonuse ühe aluse raadius on 4 , kõrgus on 7, raadiusega piiritletud kera 5. Leidke kärbikoonuse teise aluse raadius. Lahendus. Meil on OO1 = 3, OO2 = 4 ja seega O2A2 = 3. Vastus: 3. Ülesanne 4 Leia sfääri raadius, mis on ümbritsetud tüvikoonuse ümber, mille põhiraadiused on 2 ja 4 ning kõrgus 5. Lahendus. Tähistagu R piiritletud sfääri raadiust. Siis O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Võttes arvesse, et O1O2 = 6, saame võrdsuse 5 R 2 4 R 2 1. Lahendades selle R jaoks, leiame R 221 5. 5. ülesanne Kas on võimalik kirjeldada kera ümber kärbitud kaldkoonuse? Vastus: Ei.
