La creación de informes es una de las funciones principales de cualquier sistema contable. ¿Qué tipos...?
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Objetivos de la lección: Introducir la definición de líneas oblicuas. Introducir formulaciones y demostrar el signo y la propiedad de las líneas sesgadas.
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Ubicación de líneas en el espacio: α α a b a b a ∩ b a || b ¡Están en el mismo plano!
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??? Dado un cubo ABCDA1B1C1D1 ¿Son paralelas las rectas AA1 y DD1? ¿AA1 y CC1? ¿Por qué? AA1 || DD1 me gusta lados opuestos cuadrados, se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. AA1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 por el teorema de tres rectas paralelas. 2. ¿Están AA1 y DC paralelos? ¿Se cruzan? Dos rectas se llaman oblicuas si no se encuentran en el mismo plano.
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Señal de cruce de líneas. Si una de dos líneas se encuentra en un determinado plano y la otra línea corta este plano en un punto que no se encuentra en la primera línea, entonces estas líneas se cruzan. un segundo
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Señal de cruce de líneas. Dado: AB α, CD ∩ α = C, C AB. a b Prueba: Supongamos que CD y AB se encuentran en el mismo plano. Sea este el plano β. Demuestre que AB cruza a CD A B C D α coincide con β Los planos coinciden, lo cual no puede ser el caso, porque La línea CD corta a α. El plano al que pertenecen AB y CD no existe y por lo tanto, según la definición de rectas que se cruzan, AB corta a CD. Etc.
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Consolidación del teorema estudiado: Determinar la posición relativa de las rectas AB1 y DC. 2. Indique la posición relativa de la recta DC y el plano AA1B1B 3. ¿Es la recta AB1 paralela al plano DD1С1С?
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Teorema: Por cada una de las dos líneas oblicuas pasa un plano paralelo al otro plano y, además, solo uno. Dado: AB se cruza con CD. Construir α: AB α, CD || α. A B C D Por el punto A trazamos la recta AE, AE || CD. E 2. Las líneas AB y AE se cruzan y forman un plano α. AB α, CD || α. α es el único plano. Demuestre que α es único. 3. Prueba: α es el único corolario de los axiomas. Cualquier otro plano al que pertenezca AB corta a AE y, por tanto, a la recta CD.
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Tarea. Construya un plano α que pase por el punto K y sea paralelo a las rectas a y b que se cruzan. Construcción: Por el punto K trazar una recta a1 || A. 2. A través del punto K, dibuje una línea recta b1 || b. a b K a1 b1 3. Dibuja un plano α a través de las líneas que se cruzan. α es el plano deseado.
Posición relativa de las líneas. y aviones V espacio
dos seguidos
dos aviones
Recto y plano
La posición relativa de las líneas en el espacio.
No tienes un punto en común
no tienen un punto en común
tener un punto en común
yacer en el mismo plano
yacer en el mismo plano
no te acuestes en el mismo plano
cruzarse
paralelo
intersecarse
V
V
A
A
A
A
V
Dado un cubo ABCDA 1B1C1D1
B 1
do 1
Por favor indique:
- Aristas que se encuentran en líneas paralelas al borde AA 1
- Aristas que se encuentran en líneas rectas que cruzan el borde AA1
- Rectas que se cruzan con la recta AA1
A 1
D 1
B
do
A
D
Dada una pirámide ABCD Especifique:
1.planos en los que se encuentran las rectas PE, MK, DB, AB, EC;
2.puntos de intersección de la recta DK con el plano ABC, la recta CE con el plano ADB;
3. puntos que se encuentran en los planos ADB y DBC;
4. Líneas rectas a lo largo de las cuales se cruzan los planos ABC y DCB, ABD y CDA, PDC y ABC.
La posición relativa de una línea recta y un plano en el espacio.
tienen muchos puntos en común
tener un punto en común
No tener puntos en común
La recta se encuentra en el plano.
Una recta corta a un plano.
La recta y el plano son paralelos.
A
A
A
A
A
A ‖
S
Dada una pirámide ABCS
Por favor indique:
1. Rectas que se encuentran en el plano BSC.
2. Líneas rectas que cruzan el plano ABC.
A
CON
Comprobemos:
ACERCA DE
A
1. SB,SC,BC,SK
2. SA, SB, SC, SK, SO
EN
Disposición mutua de aviones en el espacio.
Hay puntos comunes
No hay puntos en común.
los planos son paralelos
los planos se cruzan
Con
‖
Apuntes de la lección sobre geometría, grado 10. (Atanasyan L.S.)Resolver problemas sobre el tema "Paralelismo de rectas y planos. La posición relativa de las líneas en el espacio"
Objetivos de la lección:
a) educativo:
repetir material teórico sobre el tema “Paralelismo de rectas y planos. La posición relativa de las líneas en el espacio";
Fortalecer habilidades:resolver problemas de prueba basados en argumentos precisos (conocimiento del material teórico);
al resolver problemas estereométricos, aplicar los conocimientos adquiridos al estudiar planimetría;
Al realizar un dibujo para una tarea, tenga en cuenta la claridad y las reglas para representar figuras espaciales.
b) desarrollar: desarrollo de habilidades
trabajo independiente,
pensamiento espacial, pensamiento lógico;
c) educativo: educar a los estudiantes
la capacidad de escucharse unos a otros, hacer preguntas y evaluar las respuestas de manera razonable;
interés en el tema
Tipo de lección: lección sobre cómo mejorar conocimientos, habilidades y habilidades.
Equipo: computadora, proyector, presentación.
Progreso de la lección.
Momento organizacional. Comprobando la preparación para la lección.
Motivación de la lección.
Diapositiva 3. La geometría está llena de aventuras porque detrás de cada problema se esconde una aventura del pensamiento. Resolver un problema significa vivir una aventura.
(V. Proizvolov). Hoy en clase viviremos muchas aventuras.
Actualización de conocimientos básicos.
Diapositiva 4. Al estudiar estereometría, es muy importante poder mirar y ver, notar y distinguir, representar y adivinar. Al resolver problemas estereométricos, aprenderemos a ver lo “no obvio”. Empezamos con la repetición.
Nombra las figuras básicas de la estereometría.
Formular métodos para definir un plano.
Diapositiva 5.
- Formule la definición de línea recta paralela a un plano.
- Formule un signo de paralelismo entre una recta y un plano.
Enuncie un corolario importante acerca de dos planos que se cruzan, uno de los cuales contiene una línea paralela al otro plano.
Enumere los casos de posiciones relativas de líneas en el espacio.
Formule la definición de líneas paralelas y sesgadas.
Formule el signo de las líneas que se cruzan.
Formule la definición del ángulo entre dos líneas que se cruzan.
¿Qué ángulo se llama el ángulo entre líneas que se cruzan?
Diapositiva 7.8. trabajo oral. Tarea 1.
1) Dado: puntos A, B, C, D no pertenecen al mismo plano.
Demuestre: tres puntos cualesquiera son vértices de un triángulo.
Primero, un estudiante dice la solución del problema y luego muestra cómo se puede escribir la solución. Porque Dado que el método por contradicción se encuentra a menudo al resolver los primeros problemas estereométricos, es necesario demostrar una vez más el algoritmo para utilizar este método.
Diapositiva 9. Tarea 2.
Porque En las primeras lecciones de estereometría, a los estudiantes les resulta difícil escribir soluciones a problemas, luego, después de resolver el problema oralmente, se les muestra cómo pueden escribir la solución a este problema utilizando signos geométricos y notaciones matemáticas.
Diapositiva 10. Tarea 3. Encuentra el ángulo entre líneas que se cruzan.
¿Cuál es el ángulo entre dos líneas que se cruzan?
Resolución de problemas.
Diapositiva 11. Resuélvelo tú mismo en tus cuadernostarea 1 .
Puede llamar a un estudiante al tablero para resolver un problema en una parte del tablero que está cerrada para los estudiantes.
Diapositiva 12. Luego, los estudiantes discuten y verifican la solución.
Diapositiva 13. Tarea 2. Con base en esta condición, haga un dibujo, cree un modelo verbal del problema y determine el valor que se puede encontrar con base en esta condición.
Se llama a un estudiante a la pizarra y resuelve el problema con la menor cantidad de ayuda del maestro. Una vez resuelto el problema en la pizarra, el profesor muestra cómo se podría escribir la solución. Discusión.
Diapositiva 14. Tarea número 3. La recta MK es paralela al lado CD del rombo ABCD y no se encuentra en el plano del rombo. a) Encuentre la posición relativa de las líneas rectas MK y BC b) Encuentre el ángulo entre las líneas rectas MK y BC si
Primero, se discute con la clase el dibujo del problema y la solución. Luego los estudiantes escriben su solución. El dibujo terminado para la tarea se puede dejar según sea necesario. Una vez resuelto el problema, el profesor muestra cómo se podría escribir la solución.
Resumiendo.
Los estudiantes nombran qué información teórica se utilizó para resolver problemas.
Reflexión
7) Tarea.
Repita los pasos 1 – 9.
Resuelve los números 45 (a), 46 (a), 38 (a).
Repetir nº 11,23,26
La posición relativa de líneas rectas y planos en el espacio.
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Todas las construcciones en un plano se hacen con herramientas de dibujo y las construcciones son precisas, pero las construcciones en el espacio se pueden hacer de forma esquemática. Por lo tanto, los términos “dibujar un plano (línea)” se utilizan en el sentido de “probar la existencia de un plano (línea)” que satisfaga las condiciones establecidas.
Diapositiva 3: Posibles ubicaciones de líneas en el espacio:
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4 b a b Tres casos de posiciones relativas de líneas en el espacio n m l p n m l p II a
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rectas en el espacio Tienen un punto común No tienen puntos comunes se cruzan se cruzan paralelas
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Definición: Dos rectas se llaman paralelas si se encuentran en el mismo plano y no tienen un punto común ni coinciden. Definición: Se dice que dos rectas se cortan si no se cortan o son paralelas. Definición: Dos rectas se llaman intersecantes si se encuentran en el mismo plano y tienen un punto común.
Diapositiva 7: Tarea: A través de un punto dado K, dibuje una línea paralela a una línea dada a
Dado: K a Demuestre: ! b: K b, b a Prueba: Construcción 1. Dibujemos el plano α que pasa por la recta a, etc. K. (según Sl.1) 2. Dibujemos una recta b, b a que pase por el punto K en el plano α (planimetría A) Unicidad (por contradicción) 1. Sea b 1: K b 1,. b 1 a .A través de las líneas rectas a y b 1 puedes dibujar un plano α 1 (según Sl. 3) 2. Línea a, porque α 1 ; α 1 = α (por un punto y una recta en el espacio) (SL.1). 3. b = b 1 (A rectas paralelas). El teorema ha sido demostrado. a una b
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TEOREMA 1. Si una de dos rectas se encuentra en un plano y la otra cruza este plano en un punto que no pertenece a la primera recta, entonces estas rectas se cruzan. Tenga en cuenta: no se puede dibujar un plano a través de líneas que se cruzan. Dado: Demuestre: a A
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II. La posición relativa de una línea recta y un plano. La recta se encuentra en el plano. Una recta corta a un plano. La recta no corta al plano. Muchos puntos en común. El único punto en común. No hay puntos en común. gramo gramo un M gramo un Ì gramo un Ç gramo = M un Ë gramo
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a c La posición relativa de una línea recta y un plano en el espacio. bK
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Definición. Una recta y un plano se llaman paralelos si no tienen un punto común o la recta se encuentra en el plano. Considere el siguiente signo de paralelismo entre una recta y un plano
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TEOREMA 2. Si una recta es paralela a alguna recta que se encuentra en un plano, entonces la recta dada y el plano son paralelos. Dado: Demuestre:
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TEOREMA 3 (inverso) Si un plano pasa por una recta paralela a otro plano y corta este plano, entonces la recta de intersección de los planos es paralela a esta recta. Dado: β ∩ α = Demostrar: Prueba: 1) a, b β a no puede ∩ b, porque de lo contrario a ∩ α, lo que contradice la condición. Por lo tanto a en α El teorema está demostrado.
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TEOREMA 4. Si se traza un plano a través de cada una de dos líneas paralelas y estos planos se cruzan, entonces su línea de intersección es paralela a cada una de estas líneas. Dado: Prueba: Demuestre: a b α β = c c a, c b α Por a dibujamos α, por b – β, y α ∩ β = c Por el criterio || recta y plano a || β, entonces con a (T.3) De manera similar, c|| b
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Prueba: Consideremos un caso. en, con β; a, c α 1. Tome t.M, M a A través de t.M yc dibujamos el plano α, b y M dibujamos el plano β; 2. T 4: α β = MN (línea de intersección de los planos b y c) 3. A través de T.M es imposible trazar dos rectas diferentes с, por lo tanto MN y a coinciden. 4. Pero como (MN) b, entonces a b en c El teorema está demostrado. Teorema 5. Si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces son paralelas entre sí. Dado: a c, b c Demuestre: a b α M N
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y M La recta está en el plano La recta corta al plano ¿Cuántos puntos tienen en común la recta y el plano?
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Métodos para definir planos Figura ¿Cómo se puede definir un plano de forma única en el espacio? 1. Por tres puntos 2. Por una recta y un punto que no le pertenece. 3. A lo largo de dos líneas que se cruzan. 4. A lo largo de dos líneas paralelas.
Disposición mutua de líneas en el espacio Hay tres casos posibles de disposición mutua de dos líneas en el espacio: - las líneas se cruzan, es decir solo tienen un punto común: las líneas son paralelas, es decir se encuentran en el mismo plano y no se cruzan: las líneas rectas se cruzan, es decir no te acuestes en el mismo plano
A 2 Si dos puntos de una recta se encuentran en un plano, entonces todos los puntos de la recta se encuentran en este plano. La propiedad expresada en el axioma A 2 se utiliza para comprobar la “planicidad” de la regla de dibujo. Para ello, el borde de la regla se aplica a la superficie plana de la mesa. Si el borde de la regla es liso (recto), entonces todos sus puntos están adyacentes a la superficie de la mesa. Si el borde es desigual, en algunos lugares se formará un espacio entre ellos y la superficie de la mesa.
A3 Si dos planos tienen un punto común, entonces tienen una línea común en la que se encuentran todos los puntos comunes de estos planos. En este caso, se dice que los planos se cruzan en línea recta. Una ilustración clara del axioma A3 es la intersección de dos paredes adyacentes, la pared y el techo de un salón de clases.
Paralelismo de una recta y un plano Si dos puntos de una recta se encuentran en un plano dado, entonces, según A2, toda la recta se encuentra en ese plano. De ello se deduce que hay tres casos posibles de disposición mutua de una línea recta y un plano en el espacio: a) una línea recta se encuentra en un plano b) una línea recta y un plano tienen un punto común, es decir, se cruzan c) a La recta y el plano no tienen un solo punto en común.
Paralelismo de planos Entonces, sabemos que si dos planos tienen un punto común, entonces se cruzan en línea recta (axioma A3). De ello se deduce que dos planos se cruzan en línea recta o no se cruzan, es decir, no tienen un solo punto común. Definición Se dice que dos planos son paralelos si no se cortan. Una idea de planos paralelos la dan el suelo y el techo de la habitación, dos paredes opuestas, la superficie de la mesa y el plano del suelo.
Teorema Si dos rectas que se cruzan en un plano son respectivamente paralelas a dos rectas de otro plano, entonces estos planos son paralelos. Prueba Considere dos planos y β. En el plano hay rectas a y b que se cruzan en el punto M, y en el plano β hay rectas a 1 y b 1, y a a 1 y b 1. Demostremos que β. En primer lugar, observamos que a partir del paralelismo de una recta y un plano, se obtienen a β y b β. Supongamos que los planos y β no son paralelos. Luego se cruzan a lo largo de alguna línea recta c. Encontramos que el plano pasa por la recta a, paralela al plano β, y corta al plano β en línea recta. Se deduce (por la propiedad 1 0) que las rectas a y c son paralelas. Pero el plano también pasa por la recta b paralela al plano β. Por lo tanto b c. Así, dos rectas a y b pasan por el punto M, paralelas a la recta c. Pero esto es imposible, ya que según el teorema de las rectas paralelas, solo una recta pasa por el punto M, paralela a la recta c. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta y, por tanto, β. El teorema está demostrado...
