Аналитическая динамика. Основное уравнение динамики Общее уравнение динамики теоретическая механика

Декоративные 28.11.2023

Декоративные

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту (если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси , проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось , т.е. . Таким образом, в рассматриваемом случае имеем

Пример решения задачи с применением общего уравнения динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) для системы с твердыми телами, грузами, шкивами и блоком, соединенных нитями.

Содержание

Условие задачи

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м , приложенной к шкиву 1. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , а шкива 2 - R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м ; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ 1 = 0,1 м и ρ 2 = 0,2 м .

Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5. Веса шкивов и грузов заданы: P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н . Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.

Указание . При решении задачи использовать общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа) .

Решение задачи

Дано: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м , ρ 1 = 0,1 м , ρ 2 = 0,2 м . P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н , M = 10 Н·м .

Найти: a 5 .

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Пусть V 4 , V 5 , V 6 , a 4 , a 5 , a 6 , δS 4 , δS 5 , δS 6 - скорости, ускорения и малые перемещения грузов 4,5 и 6. Пусть ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - угловые скорости, угловые ускорения и малые углы поворота шкивов 1 и 2.

Скорость движения нити между телами 2, 4 и 5:
. Отсюда .
Скорость движения нити между шкивами 1 и 2:
. Отсюда
.
Скорость движения нити между телами 1 и 6:
.

Итак, мы нашли связь между скоростями тел.
;
;
.

Поскольку ускорения - это производные скоростей по времени, ,
то дифференцируя по времени предыдущие формулы, находим связь между ускорениями:
;
;
.

Поскольку скорости - это производные от перемещений по времени, то такая же связь есть между бесконечно малыми перемещениями.
;
;
.

Активные внешние силы

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему.
Это силы тяжести тел P 1 = 40 Н , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н и P 6 = 10 Н , направленные вниз;
заданная пара сил с моментом M = 10 Н·м ;
силы давления осей N 1 , N 2 и N шкивов 1, 2 и невесомого блока;
силы реакции N 4 и N 6 , действующие на грузы со стороны поверхностей, перпендикулярные этим поверхностям.

Силы инерции

Мы будем решать эту задачу с помощью общего уравнения динамики, применяя принцип Даламбера - Лагранжа. Он заключается в том, что сначала мы вводим силы инерции. После введения сил инерции, задача динамики превращается в задачу статики. То есть нам нужно найти неизвестные силы инерции, чтобы система находилась в равновесии. Данную задачу статики мы решаем, применяя принцип Даламбера. То есть считаем, что система совершила малое перемещение. Тогда в равновесии, сумма работ всех сил, при таком перемещении, равна нулю.

Итак, на первом этапе мы вводим силы инерции . Для этого предполагаем, что система движется с некоторым, пока не определенным, ускорением. То есть шкивы 1 и 2 вращаются с угловыми ускорениями ε 1 и ε 2 , соответственно; грузы 4,5 и 6 совершают поступательное движение с ускорениями a 4 , a 5 и a 6 , соответственно. Между этими ускорениями имеются связи, которые мы нашли ранее. То есть все эти ускорения можно выразить через одно ускорение a 5 . Силы инерции определяются так, что они равны по модулю и противоположны по направлению тем силам (и моментам сил), которые, по законам динамики, создавали бы предполагаемые ускорения (при отсутствии других сил).

Определяем модули (абсолютные значения) сил и моментов инерции и выражаем их через a 5 .
Пусть - массы тел;
- момент инерции шкива 1.
Момент сил инерции, действующий на шкив 1:
.
Силы инерции, действующие на грузы 4, 5 и 6:
;
;
.

Изображаем силы инерции на чертеже учитывая, что их направления противоположны ускорениям.

Применение общего уравнения динамики

Даем системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз 5 переместился на малое расстояние δS 5 . Тогда угол поворота δφ 1 шкива 1 и перемещения δS 4 и δS 6 грузов 4 и 6 определяются с помощью установленных ранее кинематических соотношений. Поскольку нити нерастяжимые, то они не совершают работу при таком перемещении. Это означает, что система имеет идеальные связи. Поэтому мы можем применить общее уравнение динамики:
,
согласно которому сумма работ всех активных сил и сил инерции, при таком перемещении, равна нулю.

Определение суммы работ внешних активных сил и сил инерции

Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично:
.

Определяем работы всех активных сил и сил инерции. Поскольку центры осей шкивов 1, 2 и невесомого блока не совершают перемещений, то силы P 1 , N 1 , N 2 и N не совершают работу. Поскольку силы N 4 и N 6 перпендикулярны перемещениям грузов 4 и 6, то эти силы также не совершают работу.

Находим сумму работ остальных активных сил и сил инерции.

.
Подставляем выражения для сил инерции и применяем кинематические соотношения.

.
Сокращаем на δS 5 и преобразовываем.

.
Подставляем численные значения.

;
;

На основании принципа Даламбера справедливы равенства:

где – активная сила; – реакция связей; – сила инерции точки (рис. 3.36).

Умножая скалярно каждое из соотношений (3.45) на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим

(3.46)

Равенство (3.46) – общее уравнение динамики для механической системы с любыми связями. Если связи идеальные, то и выражение (3.46) принимает одну из форм:

Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера–Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы.

Обобщенные координаты

Пусть система состоит из N точек и положение ее определяется 3N координатами точек системы (рис. 3.37). На систему наложены l

голономных двухсторонних связей, уравнения которых s =1,2,…,l .

Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n =3N -l .

В качестве n независимых координат можно выбрать любые независимые параметры

Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы .

Рис. 3.37

В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы:

Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты:

Для радиус–вектора каждой точки системы получим

Если связи стационарные, то время в (3.47) явно входить не будет. Для голономных связей вектор возможного перемещения точки можно выразить в форме:

Если связи голономные, то число независимых возможных перемещений (или вариаций ) совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n =3N -l.

Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы.

Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются

Обобщенные силы

Рис. 3.38

Определение обобщенных сил . Рассмотрим голономную систему из N материальных точек, имеющую n степеней свободы и находящуюся под действием системы сил (рис. 3.38). Положение системы определяется n обобщенными координатами т.е.

Вектор возможного перемещения –

(3.48)

Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:

(3.49)

Подставляя (3.48) в (3.49) и меняя порядок суммирования, получим

(3.50)

Скалярная величина называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате q i .

Размерность обобщенной силы . Из формулы (3.50) получается размерность обобщенной силы [Q ]=[A ]/[q ]. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Н×м].

Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:

где F kx ,F yx ,F kz – проекции силы на оси координат; x k ,y yx ,z k – координаты точки приложения силы

2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (3.50):

3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата q j то из (3.52) имеем

Индекс q i в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата q i .

4. Для потенциальных сил:

(3.53)

где – силовая функция.

Из выражения (3.51) с учетом равенств (3.53) следует,

Таким образом,

где потенциальная энергия системы.

3.5.6. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Условия равновесия сил

Общее уравнение динамики (3.50)

Вектор возможного перемещения согласно (3.48) равен

С учетом этого выражения общее уравнение динамики принимает вид

Преобразуем его, поменяв порядок суммирования

(3.54)

Здесь – обобщенная сила активных сил, соответствующая обобщенной координате q i ; – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q i .Тогда уравнение (3.54) принимает вид

Приращения обобщенных координат произвольны и независимые друг от друга. Поэтому коэффициенты при них в последнем уравнении должны быть равны нулю:

(3.55)

Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.

Если силы, действующие на механическую систему эквивалентны нулю, т.е. механическая система движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, обобщенные силы инерции системы равны нулю , тогда уравнения (3.55) принимают вид

(3.56)

Равенства (3.56) выражают условия равновесия сил в обобщенных силах.

В случае консервативных сил

Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

Легко показать, что все типы связей, обычно рассматриваемые в задачах механики – гладкая поверхность, идеальная нить, шарниры, подпятник, глухая заделка ‑ являются идеальными. Неидеальность связей часто обусловлена наличием трения скольжения или качения. В этом случае часть реакции связи, для которой нарушается идеальность, переводится формально в разряд активных сил и задается в условии или определяется в задаче. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие механические системы, то есть системы с идеальными связями или со связями, которые описанным приемом могут быть переведены в разряд идеальных. Для таких систем имеет смысл сформулировать положение, которое также имеет форму аксиомы, объединяющее II закон Ньютона, принцип независимости действия сил (точнее правило параллелограмма), принцип освобождаемости от связей и принцип идеальности связей. Это положение называется в литературе по механике по-разному – принцип д’Аламбера-Лагранжа, общее вариационное уравнение механики, общее уравнение динамики и др. Применение этого принципа для вывода других положений и теорем теоретической механики дает существенный выигрыш, и будет использоваться нами постоянно.

Каждая точка механической системы может взаимодействовать с другими точками и телами данной механической системы, с точками и телами, не принадлежащими ей, а также с внутренними и внешними связями. Объединим все силы реакций указанных связей, действующих на i -ю точку МС, в одну силу , согласно правилу параллелограмма складывая их попарно. То же самое сделаем с активными силами, получим силу . С помощью 2-го закона Ньютона запишем уравнения движения точек системы

, i=1,2,…,N . (5.1)

Чтобы применить условие идеальности связей, надо разрешить эти уравнения относительно реакций связей и подставить полученные выражения в (4.8). Это дает

Для более удобной формулировки этого принципа поменяем местами слагаемые в круглых скобках. Величину

имеющую размерность силы, в механике принято называть Д’Аламберова сила инерции точки или просто сила инерции точки . Тогда

в каждый момент времени при движении механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю

или (5.2)

Обобщенные силы . Пусть имеется явно или неявно заданное выражение радиус-векторов точек системы через обобщенные координаты и время t

, i =1,2,…,N . (5.3)

Применим операцию изохронного варьирования к выражению (7.1), заключающуюся в том, что надо взять дифференциал от функции нескольких переменных , полагая время фиксированным. Получим

Подставим это выражение в формулу виртуальной работы i -ой активной силы и просуммируем эти работы по всем точкам системы. Получим

Перегруппируем слагаемые в этом выражении и изменим порядок суммирования, получим

Здесь , k=1,2,…,s (5.6)

и есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате с номером k . Таким образом, обобщенную силу можно определить как

коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты в выражении виртуальной работы системы.

Из выражений (5.5) и (5.6) можно получить два способа вычисления обобщенных сил. Один - прямо по определению, второй – по формуле (5.6), если заданы проекции сил и аналитические зависимости координат их точек приложения от обобщенных (5.4). В дальнейшем мы рассмотрим подробнее способы вычисления обобщенных сил. Для ближайших целей нам достаточно выражения (5.6) и данного определения. Подчеркнем, что обобщенная сила, в отличие от обычной, является скалярной величиной и называется так только потому, что выражение (5.3) по форме напоминает выражение виртуальной работы силы

Из правой части этой формулы видно, что имело бы смысл говорить об обобщенных силах как проекциях сил системы на обобщенные координаты.

Совершенно аналогично, можно записать выражение для обобщенной силы инерции, подставив в (7.4) вместо активной силы силу инерции

, k=1,2,…,s. (5.7)

Общее уравнение механики в обобщенных координатах . На основании (5.5) запишем выражение виртуальных работ активных сил и сил инерции механической системы и приравняем его нулю согласно (5.2)

откуда, благодаря независимости вариаций обобщенных координат друг от друга, что имеет место для голономных систем , следует s уравнений

или в другой форме, напоминающей II закон Ньютона (3.10)

Эти уравнения и являются уравнениями, описывающими динамическое поведение механической системы с голономными связями. Их можно применять непосредственно для вывода уравнений движения. Основная трудность здесь состоит в получении выражений приведенных сил инерции, которые можно определить по формулам (5.7). В дальнейшем будет показано, как можно построить алгоритмы компьютерной алгебры для автоматизации построения уравнений движения достаточно широкого класса механических систем на базе уравнений (5.6)-(5.8). Однако для «ручного» вывода уравнений движения более предпочтительным оказывается применение уравнений Лагранжа II рода, которые получаются из (5.8) выражением обобщенных сил инерции (5.7) через кинетическую энергию системы.

Лекция 6. Уравнения Лагранжа II рода .

Найдем слагаемое с номером i в правой части (5.7), используя выражения (5.3).

Здесь использованы два тождества Лагранжа

, .

После суммирования получим обобщенную силу инерции

Здесь величина , где -скорость i -ой точки, есть, очевидно, кинетическая энергия механической системы.

Окончательно получим

, k=1,2,...,s, (6.1)

где s - число степеней свободы, - кинетическая энергия, , , - обобщенная координата, обобщенная скорость и обобщенная активная сила с порядковым номером данной механической системы.

Составление уравнений движения в форме (6.1) сводится к выполнению ряда формальных действий

· выбрать обобщенные координаты - параметры любой геометрической или физической природы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени;

· записать выражение кинетической энергии системы в виде суммы кинетических энергий точек и тел системы через инерционные параметры (массы точек и тел, моменты инерции тел) и обобщенные координаты и скорости;

· получить выражения производных кинетической энергии, входящие в левую часть (6.1);

· записать выражение виртуальных работ сил системы при варьировании каждой обобщенной координаты, коэффициенты перед вариацией соответствующей обобщенной координаты дают формулу для обобщенной силы, соответствующей этой обобщенной координате.

Для применения полученных уравнений Лагранжа II рода на практике необходимо получить рабочие формулы вычисления виртуальных работ и кинетической энергии системы, что в свою очередь, требует разобраться с инерционными характеристиками механических систем и тел.

Вычисление обобщенных сил. Существует три способа вычисления обобщенных сил.

Первый способ предполагает прямое вычисление коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении виртуальной работы. Удобнее здесь варьировать не все сразу обобщенные координаты, а по одной. Записывается выражение работы на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариации только одной обобщенной координаты, например, с номером k - , как алгебраическую сумму виртуальных работ активных сил, приложенных к телам и точкам механической системы . Затем, вынося за скобки общий сомножитель - вариацию обобщенной координаты , получим выражение для обобщенной силы

Для системы с несколькими степенями свободы такую операцию следует проделать столько раз, сколько обобщенных координат.

Второй способ основан на зависимостях типа (5.3), заданных в явном виде. Тогда обобщенные силы определятся выражением (5.6)

, k=1,2,…,s.

Третий способ опирается на знание потенциальной энергии системы как функции координат ее точек . Подставляя в нее выражения (5.3), получим зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат , а виртуальная работа будет

Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, найдем

Понятно, что лучше сразу по возможности построить функцию потенциальной энергии системы от обобщенных координат .

Пример составления уравнений Лагранжа II рода. Найти ускорение бруса, перемещающегося по каткам на наклонной плоскости, составляющей угол a= 30 0 с горизонтальной плоскостью (рис. 6.1). Масса бруса кг , массы цилиндрических катков одинаковы и составляют кг . Коэффициент трения качения каждого катка составляет м , а радиус см.

Решение. Механическая система, состоящая из бруса и двух катков, имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение бруса вдоль наклонной плоскости . Тогда ее вариацию (виртуальное перемещение бруса вдоль наклонной плоскости вниз) обозначим .

Найдем кинетическую энергию системы, учитывая, что кинетические энергии катков одинаковы.

Здесь - кинетическая энергия поступательно движущегося бруса:

Кинетическая энергия катков, которую найдем по формуле для плоскопараллельного движения твердого тела

где - скорость центров масс катков, - угловая скорость качения катков, - момент инерции катка относительно собственного центра, где - радиус катка. .

Откуда найдем обобщенную силу, как коэффициент перед вариацией обобщенной координаты

. (6.3)

Подставим (8.2) и (8.3) в уравнения (5.1), получим

м/с 2 . (6.4)

Таким образом брус будет двигаться вниз равноускоренно с ускорением 4,95 м/с 2 .

Замечания. Обычно вызывает определенную трудность трактовка знака результата, который получается при изменении направления виртуального перемещения , показанного на рис. 6.1 пунктирной стрелкой. Часто заранее неизвестно направление движения системы. В этом случае варьировать можно «наугад», так как виртуальное перемещение не обязано привязываться к действительному движению, поэтому мы вправе направить его куда угодно. Допустим, что в предыдущей задаче мы дадим виртуальное перемещение по пунктирной стрелке. В этом случае левая часть уравнений (6.2) не меняется, а при вычислении правой части, в (6.3) появится знак «-» в работах сил тяжести и знак «+» в работе трения качения. В итоге знак «-» перейдет и в формулу результата ‑ ускорения бруса (6.4). Это, конечно, не будет свидетельствовать о том, что брус двигается замедленно. На самом деле, при вычислении обобщенной силы через виртуальную работу, мы фактически записываем проекции сил системы на направление виртуального перемещения. Поэтому и результат, даваемый формулой (6.4), надо трактовать, как проекцию вектора обобщенного ускорения бруса на это направление. Таким образом, сделаем вывод, что брус будет двигаться вниз с постоянным ускорением 4,95 м/с 2 .

При наличии сил трения их надо направлять в соответствии с направлением действительного движения. Варьирование координат не всегда можно связать с действительным движением. В этом случае, могут появиться выражения для виртуальных работ сил трения со знаком «+», как в рассмотренном примере при виртуальном перемещении бруса по пунктирной стрелке. С формальной точки зрения это не должно смущать, так как это виртуальные , а не действительные работы. Другое дело, что, часто, не решив до конца задачу, мы не знаем направления действительных перемещений точек, а, значит, направлений сил трения. В этом случае может понадобиться решить несколько задач, делая различные предположения о направлении этих сил. И остановиться надо на логически оправданном решении. Иногда удается учесть аналитически знаки проекций сил трения, связав их с алгебраическими значениями скоростей соответствующих тел и точек.